The degree of a vertex

Bài này là phần tiếp theo của bài https://nttuan.org/2023/09/01/graph02/

Cho đồ thị $\displaystyle G=(V,E).$ Bậc của một đỉnh $\displaystyle v\in G,$ ký hiệu $\displaystyle \deg_G(v)$ hoặc $\displaystyle \deg (v),$ là số đỉnh của $\displaystyle G$ kề với $\displaystyle v.$ Đỉnh có bậc bằng $\displaystyle 0$ được gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh có bậc bằng $1$ được gọi là lá. Nếu mọi đỉnh của $\displaystyle G$ đều có bậc $\displaystyle k$ thì ta nói $\displaystyle G$ là $\displaystyle k-$ đều.

Định lý 1. Trong mỗi đồ thị có cấp lớn hơn $\displaystyle 1$ , tồn tại ít nhất hai đỉnh có cùng bậc.

Chứng minh. Gọi $\displaystyle n$ là cấp của đồ thị. Bậc của mỗi đỉnh của đồ thị là một số tự nhiên bé hơn $\displaystyle n$ . Vì vậy, nếu các đỉnh của đồ thị có bậc đôi một khác nhau thì có đỉnh cô lập và có đỉnh kề với mọi đỉnh khác, vô lý. $\Box$

Định lý 2. Với mỗi đồ thị $\displaystyle G=(V,E),$ ta có

$\displaystyle \displaystyle \sum_{v\in V}\deg (v)=2\mid E\mid.$

Chứng minh. Khi ta cộng tất cả bậc của các đỉnh, ta đã đếm mỗi cạnh đúng hai lần, một cho mỗi đầu mút của nó. $\Box$

Hệ quả. Số đỉnh bậc lẻ trong một đồ thị là số chẵn.

Ví dụ 1. Có đồ thị với dãy bậc của đỉnh như sau hay không?

(a) $\displaystyle 3,2,2,2.$

(b) $\displaystyle 3,3,2,2.$

Hướng dẫn. Ý đầu là không vì tổng bậc phải chẵn, ý thứ hai là có. Ý thứ ba là không, vì nếu có thì khi xét hai đỉnh bậc $\displaystyle 4,$ có ít nhất $\displaystyle 6$ cạnh đến các đỉnh bậc $\displaystyle 1,$ vô lý. $\Box$

Vào năm 1960, Paul Erdos và Tibor Gallai đã tìm được kết quả sau:

Định lý 3 (Erdos-Gallai). Dãy số nguyên không âm $\displaystyle d_1\geq d_2\geq\ldots \geq d_n$ là dãy bậc của một đồ thị trên $\displaystyle n$ đỉnh khi và chỉ khi $\displaystyle \sum d_i$ chẵn và

$\displaystyle \sum_{i=1}^kd_i\leq k(k-1)+\sum_{i=k+1}^n\min\{d_i,k\},\quad \forall k=\overline{1,n}.$

Ví dụ 2. Cho một tập hợp $\displaystyle S$ gồm $\displaystyle 100$ điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong $\displaystyle S$ không bé hơn $\displaystyle 1.$ Chứng minh rằng có không nhiều hơn $\displaystyle 300$ cặp điểm (không kể thứ tự) mà khoảng cách giữa hai điểm trong mỗi cặp bằng $\displaystyle 1.$

Hướng dẫn. Xét đồ thị $\displaystyle G$ trên $\displaystyle S$ được xác định như sau: Tập con $\displaystyle \{A,B\}$ của $\displaystyle S$ là một cạnh của $\displaystyle G$ khi và chỉ khi $\displaystyle AB=1.$ Vì $\displaystyle \deg (v)\leq 6$ với mọi $\displaystyle v\in S$ , nên $\displaystyle \mid E(G)\mid \leq 1/2\times 6\times 100=300$ . $\Box$

Ví dụ 3. Cho một lớp học có số học sinh là số chẵn. Chứng minh rằng tồn tại hai học sinh trong lớp có số người quen chung trong lớp là số chẵn.

Lời giải. Xét đồ thị $\displaystyle G$ trên tập hợp $\displaystyle V$ các học sinh trong lớp được xác định như sau: với hai đỉnh $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ của $\displaystyle G,$ có một cạnh nối $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ khi $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ quen nhau. Giả sử ngược lại rằng với mỗi $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ phân biệt thuộc $\displaystyle V,$ $\displaystyle \mid N(a)\cap N(b)\mid$ là số lẻ. Nói riêng, mỗi hai đỉnh có ít nhất một láng giềng chung.

Nhận xét. Mọi đỉnh của $\displaystyle G$ đều có bậc chẵn.

Chứng minh. Xét một đỉnh $\displaystyle x$ bất kỳ và xem $\displaystyle N(x)$ như đồ thị con cảm sinh của $\displaystyle G.$ Ta thấy $\displaystyle \sum_{y\in N(x)}\deg_{N(x)}(y)$ là số chẵn và mỗi số hạng là lẻ, suy ra $\mid N(x)\mid$ là số chẵn. $\Box$

Bây giờ cố định một đỉnh $\displaystyle x$ bất kỳ của $\displaystyle G.$ Đặt $\displaystyle X=V\setminus (N(x)\cup \{x\}).$ Khi đó $\displaystyle X$ có số phần tử lẻ. Ta quan tâm đến số $\displaystyle \alpha$ các cạnh có một đầu mút thuộc $\displaystyle X$ đầu mút kia thuộc $\displaystyle N(x)$ theo hai cách. Nếu chọn đầu mút thuộc $\displaystyle X$ trước thì ta thấy $\displaystyle \alpha$ là số lẻ, trong khi nếu chọn đầu mút thuộc $\displaystyle N(x)$ trước thì ta thấy $\displaystyle \alpha$ là số chẵn (theo nhận xét), vô lý. $\Box$

Continue reading →

Probability space

Các bạn đọc lại bài https://nttuan.org/2024/01/24/naive-definition-of-probability/ để theo dõi bài cho dễ dàng.

Một họ $\mathcal{G}$ các tập con của một tập hợp $\Omega$ được gọi là một đại số các tập con của $\Omega$ nếu nó có ba tính chất sau:

(1) $\Omega\in\mathcal{G}$ .

(2) Nếu $C\in \mathcal{G}$ thì $\Omega\setminus C\in\mathcal{G}$ .

(3) Nếu $C_1,C_2,\ldots,C_n\in\mathcal{G}$ thì $\displaystyle \bigcup_{i=1}^nC_i\in\mathcal{G}$ .

Ví dụ 1. Với tập hợp $\displaystyle \Omega$ , ta có họ $\displaystyle \mathcal{G}=\{\emptyset,\Omega\}$ là một đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ . $\Box$

Bổ đề 1. Cho $\displaystyle \mathcal{G}$ là một đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ . Khi đó

(1) $\displaystyle \emptyset\in\mathcal{G}$ .

(2) Nếu $\displaystyle C_1,C_2,\ldots,C_n\in\mathcal{G}$ thì $\displaystyle \bigcap_{i=1}^nC_i\in\mathcal{G}$ .

(3) Nếu $\displaystyle C_1,C_2\in\mathcal{G}$ thì $C_1\setminus C_2\in\mathcal{G}$ .

Chứng minh. Vì $\displaystyle \Omega\in\mathcal{G}$ nên $\displaystyle \emptyset=\Omega\setminus\Omega$ cũng thuộc $\displaystyle \mathcal{G}$ . Nếu $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ , $\displaystyle \ldots$ , $\displaystyle C_n\in\mathcal{G}$ thì

$\displaystyle \Omega\setminus \bigcap_{i=1}^nC_i=\bigcup_{i=1}^n(\Omega\setminus C_i)\in\mathcal{G},$

suy ra $\displaystyle \bigcap_{i=1}^nC_i\in\mathcal{G}$ . Cuối cùng, nếu $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2\in\mathcal{G}$ thì $\displaystyle C_1\setminus C_2=\Omega\setminus ((\Omega\setminus C_1)\cup C_2)\in\mathcal{G}.$ $\Box$

Định nghĩa 1. Một họ $\displaystyle \mathcal{G}$ các tập con của một tập hợp $\displaystyle \Omega$ được gọi là một $\displaystyle \sigma-$ đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ nếu nó có ba tính chất sau:

(1) $\displaystyle \Omega\in\mathcal{G}$ .

(2) Nếu $\displaystyle C\in \mathcal{G}$ thì $\displaystyle \Omega\setminus C\in\mathcal{G}$ .

(3) Nếu $\displaystyle C_1,C_2,\ldots\in\mathcal{G}$ thì $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty}C_i\in\mathcal{G}$ .

Lúc này ta gọi $\displaystyle \Omega$ là không gian mẫu và các phần tử của $\displaystyle \mathcal{G}$ là các biến cố, hay sự kiện.

Mỗi $\displaystyle \sigma-$ đại số là một đại số, ngược lại không đúng.

Ví dụ 2. $\displaystyle \sigma-$ đại số nhỏ nhất các tập con của $\displaystyle \Omega$ là $\displaystyle \{\emptyset,\Omega\}$ . $\Box$

Ví dụ 3. Nếu $\displaystyle A$ là một tập con của $\displaystyle \Omega$ thì $\displaystyle \{\emptyset,\Omega,A,\overline{A}\}$ là một $\displaystyle \sigma-$ đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ . $\Box$

Ví dụ 4. Họ tất cả các tập con của $\displaystyle \Omega$ là $\displaystyle \sigma-$ đại số lớn nhất các tập con của $\displaystyle \Omega$ . $\Box$

Định nghĩa 2. Một không gian đo được là một cặp $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F})$ , trong đó $\displaystyle \Omega$ là một tập hợp và $\displaystyle \mathcal F$ là một $\displaystyle \sigma-$ đại số các tập con của $\displaystyle \Omega$ . Khi $\displaystyle \Omega$ là hữu hạn hoặc đếm được thì không gian đo được $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F})$ được gọi là rời rạc.

Mỗi khi xét không gian đo được rời rạc $(\Omega,\mathcal{F})$ , ta chỉ xét $\mathcal F$ là $\sigma-$ đại số tất cả các tập con của $\Omega$ .

Định nghĩa 3. Cho một không gian đo được $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F})$ . Độ đo xác suất $\displaystyle \mathbb{P}$ trên $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F})$ là một hàm $\displaystyle \mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0;1]$ thỏa mãn đồng thời hai điều sau:

(1) $\displaystyle \mathbb{P}(\emptyset)=0$ và $\mathbb{P}(\Omega)=1$ .

(2) Nếu $\displaystyle A_1,A_2,\ldots$ là một dãy các phần tử đôi một rời nhau của $\displaystyle \mathcal F$ thì $\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_i).$

Lúc này thì bộ ba $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ được gọi là không gian xác suất. Với mỗi sự kiện $\displaystyle A$ , ta gọi $\displaystyle \mathbb{P}(A)$ là xác suất của $\displaystyle A$ .

Với không gian xác suất $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ và biến cố $\displaystyle A$ , ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố rỗng nếu $\displaystyle \mathbb{P}(A)=0$ và là biến cố chắc chắn nếu $\displaystyle \mathbb{P}(A)=1$ . Ta có thể xác định một không gian xác suất tương ứng với mỗi phép thử. Khi đó các bài toán liên quan đến phép thử sẽ chuyển về các bài toán trong không gian xác suất tương ứng.

Ví dụ 5. Một đồng xu, có thể không cân, được tung lên một lần. Với phép thử này ta xác định không gian xác suất $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ như sau: Không gian mẫu $\displaystyle \Omega=\{0;1\}$ (như trong bài trước, sấp được ghi là $\displaystyle 1$ và ngửa được ghi là $\displaystyle 0$ ), $\displaystyle \mathcal{F}$ là họ tất cả các tập con của $\displaystyle \Omega$ , và độ đo xác suất $\displaystyle \mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0;1]$ được định nghĩa bởi

$\displaystyle\mathbb{P}(\emptyset)=0,\,\mathbb{P}(\Omega)=1,\,\mathbb{P}(\{1\})=p,\,\mathbb{P}(\{0\})=1-p.$

Ở đây $\displaystyle p$ là một số thực thuộc đoạn $\displaystyle [0;1]$ . Đồng xu này là cân đối nếu $\displaystyle p=1/2$ . $\Box$

Ví dụ 6. Một con xúc xắc được tung một lần. Với phép thử này ta xác định không gian xác suất $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ như sau: Không gian mẫu $\displaystyle \Omega=[6]$ , $\mathcal{F}$ là họ tất cả các tập con của $\displaystyle \Omega$ , và độ đo xác suất $\displaystyle \mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0;1]$ được định nghĩa bởi

$\displaystyle \mathbb{P}(A)=\sum_{i\in A}p_i, \quad \forall A\subset \Omega.$

Ở đây $\displaystyle p_1,p_1,\ldots,p_6$ là các số thực không âm có tổng bằng $\displaystyle 1$ . Xác suất để xuất hiện mặt có $\displaystyle i$ chấm là $\displaystyle p_i$ . Con xúc xắc này là cân đối nếu các $\displaystyle p_i$ đều bằng $\displaystyle 1/6$ . Khi đó $\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{\mid A\mid }{6}, \quad \forall A\subset \Omega,$ bằng xác suất xảy ra $\displaystyle A$ theo định nghĩa ngây thơ (cổ điển) của xác suất. $\Box$

Sau đây là một số tính chất của độ đo xác suất.

Bổ đề 2. Cho một không gian xác suất $\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ . Khi đó

(1) Với mỗi biến cố $A$ , ta có $\displaystyle \mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}({A})$ .

(2) Nếu $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ là các biến cố thỏa mãn $\displaystyle A\subset B$ thì $\displaystyle \mathbb{P}({B})=\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B\setminus A})\geq \mathbb{P}({A}).$

(3) Nếu $\displaystyle A_1,A_2,\ldots,A_n$ là $\displaystyle n>1$ biến cố thì

$\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right)=\sum_{i=1}^n\mathbb{P}({A_i})-\sum_{i<j}\mathbb{P}({A_i\cap A_j})+\sum_{i<j<k}\mathbb{P}({A_i\cap A_j\cap A_k})$ $\displaystyle -\ldots +(-1)^{n+1}\mathbb{P}(A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_n).$

Chứng minh. Xét một biến cố $\displaystyle A$ . Vì $\displaystyle\Omega=A\cup\overline{A}$ và $\displaystyle A\cap\overline{A}=\emptyset$ nên

$\displaystyle 1=\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}(A\cup\overline{A})=\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}\overline{A}),$

suy ra $\displaystyle \mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}({A})$ . Bây giờ xét hai biến cố $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ với $\displaystyle A\subset B$ . Vì biến cố $\displaystyle B$ là hợp của hai biến cố rời nhau $\displaystyle A$ và $\displaystyle B\setminus A$ nên

$\displaystyle\mathbb{P}({B})=\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B\setminus A})\geq \mathbb{P}({A}).$

Ta sẽ chứng minh khẳng định cuối cùng bằng quy nạp theo $\displaystyle n$ . Xét hai biến cố $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ . Biến cố $\displaystyle A\cup B$ là hợp của hai biến cố rời nhau $\displaystyle A$ và $\displaystyle B\setminus A$ nên

$\displaystyle\mathbb{P}(A\cup {B}) =\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B\setminus A})= \mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B\setminus (A\cap B)})=\mathbb{P}({A})+\mathbb{P}({B})-\mathbb{P}(A\cap B),$

suy ra khẳng định đúng với $\displaystyle n=2$ . Bây giờ giả sử khẳng định đúng với số nguyên dương $\displaystyle n= k\, (k>1)$ . Xét $\displaystyle k+1$ biến cố $\displaystyle A_1$ , $\displaystyle A_2,\ldots,$ $\displaystyle A_{k+1}$ . Vì khẳng định đúng với $\displaystyle n=2$ nên

$\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k+1}A_i\right)=\mathbb{P}\left(\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)\bigcup A_{k+1}\right)$

$\displaystyle =\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)+\mathbb{P}\left(A_{k+1}\right)-\mathbb{P}\left(\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)\bigcap A_{k+1}\right)$

$\displaystyle =\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right)+\mathbb{P}\left(A_{k+1}\right)-\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k}\left(A_i\bigcap A_{k+1}\right)\right).$

Đến đây dùng giả thiết quy nạp ta thấy khẳng định đúng với $\displaystyle n=k+1$ . Theo nguyên lý quy nạp toán học, khẳng định đúng với mỗi số nguyên $\displaystyle n>1$ . $\Box$

Từ chứng minh trên, bằng quy nạp theo $n$ , ta thu được $\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right)\leq\sum_{i=1}^n\mathbb{P}(A_i).$

Continue reading →

International Mathematics Tournament of the Towns, Spring 2024

Kỳ thi Toán quốc tế giữa các thành phố là một kỳ thi học sinh giỏi môn Toán có quy mô quốc tế được tổ chức lần đầu tiên tại Nga vào năm 1980. Cho đến nay, mỗi năm, kỳ thi được tổ chức tại hơn 100 thành phố ở hơn 25 quốc gia trên toàn thế giới. Điều đặc biệt của kỳ thi là học sinh được làm bài tại thành phố của mình, do đó giảm thiểu tối đa các chi phí phát sinh. Bài làm của các thí sinh sẽ được Ban tổ chức tại địa phương chấm và gửi kết quả về Ban tổ chức Trung ương tại Nga. Mỗi năm, có hơn 1000 thí sinh đạt tiêu chuẩn được cấp Bằng chứng nhận từ Viện Hàn lâm Khoa học Nga (Russian Academy of Sciences).

Nhằm thúc đẩy phong trào dạy và học Toán theo xu hướng hội nhập quốc tế, năm 2015, kỳ thi ITOT được tổ chức lần đầu tiên tại Việt Nam do Trung tâm Nghiên cứu và Ứng dụng Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội làm đại diện chính thức của kỳ thi tại Việt Nam.

Từ năm 2024, Công ty TNHH Giáo dục VSO là đơn vị đại diện chính thức phối hợp với Viện Hàn lâm Khoa học Nga để tổ chức các kỳ thi ITOT tại Việt Nam. Kỳ thi được tổ chức hằng năm, mỗi năm hai vòng vào mùa thu (khoảng tháng mười) và mùa xuân (khoảng tháng ba). Học sinh có thể tham gia vào một trong hai hoặc cả hai vòng, tùy theo điều kiện địa phương.

1. Mục đích của kỳ thi

Kỳ thi Toán quốc tế giữa các thành phố giúp cho học sinh có cơ hội tham gia một kỳ thi chuẩn quốc tế. Mục đích chính của kỳ thi là góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có năng khiếu. Bên cạnh đó, kỳ thi còn cung cấp cho giáo viên và những người tổ chức địa phương một nguồn tài liệu chất lượng cao.

2. Cơ quan tổ chức:

Công ty TNHH Giáo dục VSO

Đơn vị triển khai: Vietnam Math Circle

3. Thời gian, địa điểm tổ chức kỳ thi ITOT45 mùa xuân

– Thời gian: Ngày thi cấp độ O: 23/03/2024

Ngày thi cấp độ A: 24/03/2024

– Địa điểm: Trường Tiểu học, THCS và THPT Thực nghiệm Khoa học Giáo dục, 50 P. Liễu Giai, Cống Vị, Ba Đình, Hà Nội

4. Đối tượng dự thi

– Cấp THCS: Học sinh khối lớp 7, 8 và 9;

– Cấp THPT: Học sinh khối lớp 10, 11 và 12.

5. Hình thức thi

Thí sinh thi tập trung tại điểm thi. Thông tin về các phòng thi và danh sách học sinh sẽ được ban tổ chức công bố trên website trước ngày 22/03/2024.

Nguồn: https://www.mathcircle.edu.vn/ITOTSpring2024

Vietnam Math Circle

Vietnam Math Circle là một chương trình phi lợi nhuận.

Mục tiêu của chương trình là giúp các em học sinh hiểu về bản chất của Toán học, học giỏi Toán, và ứng dụng các kiến thức Toán trong học tập và công việc hàng ngày. Cụ thể:

Chuẩn bị cho học sinh kiến thức và kĩ năng để tham gia các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Giới thiệu cho học sinh về một thế giới Toán học mở và giúp các em phát triển tiềm năng/khả năng của bản thân.
Giới thiệu cho học sinh về vẻ đẹp của Toán học thông qua các chủ đề cụ thể.
Giúp học sinh hiểu về các công việc liên quan đến Toán học và ứng dụng Toán học trong tương lai.

Chương trình bắt đầu nhận hồ sơ từ 06/02/2024. Hạn đăng ký là 31/03/2024.

Chúng tôi hi vọng đạt được những mục tiêu này thông qua:

Chương trình học được thiết kế và giảng dạy bởi các chuyên gia/nhà nghiên cứu/thầy cô có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy ở Việt Nam và nước ngoài.
Tạo ra một môi trường học tập vui vẻ, thân thiện, và giúp các em cảm thấy yêu thích mỗi khi được học tại Vietnam Math Circle.
Hình thức học tập bao gồm cả trực tiếp (với học sinh nội thành Hà Nội) và trực tuyến (với học sinh ngoại thành Hà Nội và các tỉnh thành khác).
Tổ chức kỳ thi đánh giá chất lượng giữa kỳ và cuối kỳ. Học sinh qua bài kiểm tra cuối kỳ sẽ được chuyển lên cấp học tiếp theo.
Những học sinh vượt khó, học giỏi trên các tỉnh thành sẽ được đăng ký xét Học bổng Vietnam Math Circle để tham gia chương trình học.
Các học sinh xuất sắc nhất của Vietnam Math Circle sẽ được tham gia trường hè với những bài giảng chuyên sâu từ các thầy trong Hội đồng chuyên môn.
Tổ chức kỳ thi học sinh giỏi Vietnam Math Circle hàng năm vào tháng 8.
Cung cấp cho học sinh những lời khuyên, định hướng học tập, cũng như những định hướng công việc trong tương lai.

Đây là một chương trình hấp dẫn. Các bạn có thể tìm hiểu thêm về chương trình này ở đường dẫn https://www.mathcircle.edu.vn/

Naive definition of probability

Phép thử ngẫu nhiên, hay phép thử, là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện, và khả năng xảy ra của các kết quả là như nhau. Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Kết quả thuận lợi cho một biến cố (sự kiện) $\displaystyle E$ liên quan đến phép thử $\displaystyle T$ là kết quả của phép thử $\displaystyle T$ làm cho biến cố $\displaystyle E$ xảy ra. Trong bài này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn.

Ví dụ 1. Tung một đồng xu, ta thấy có thể xảy ra một trong hai kết quả sấp ( $\displaystyle S$ ) hoặc ngửa ( $\displaystyle N$ ). Phép thử ngẫu nhiên ở đây là tung một đồng xu, không gian mẫu của phép thử là tập hợp $\displaystyle \Omega =\{S, N\}$ . Ta có thể để ý xem các biến cố sau có xảy ra không?

kết quả của phép thử là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử không là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ hoặc $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ và $\displaystyle N$ . $\Box$

Ví dụ 2. Xét phép thử ngẫu nhiên: tung một đồng xu bốn lần. Ta thấy một kết quả là $\displaystyle SNNS$ , và không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các dãy gồm $\displaystyle 4$ chữ cái thuộc $\displaystyle \{S,N\}$ . Chúng ta có thể mã hóa $\displaystyle S$ là $\displaystyle 1$ và $\displaystyle N$ là $\displaystyle 0$ , khi đó mỗi kết quả của phép thử là một dãy $\displaystyle (s_1,s_2,s_3,s_4)$ với các $\displaystyle s_j\in\{0;1\}$ và không gian mẫu của phép thử là tập tất cả các dãy như vậy.

Gọi $\displaystyle E_i$ là sự kiện lần tung thứ $\displaystyle i$ ra mặt ngửa. Tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle E_1$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle E_1$ , là

$\displaystyle E_1=\{(0,s_2,s_3,s_4)\mid s_j\in \{0;1\},\quad\forall j\}.$ Đây là một tập con của không gian mẫu.

Nếu $\displaystyle A$ là biến cố ít nhất một mặt là ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle A$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle A$ , là $\displaystyle A=E_1\cup E_2\cup E_3\cup E_4.$ Nếu $\displaystyle B$ là biến cố tất cả bốn lần tung đều hiện mặt ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle B$ là $\displaystyle B=E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4.$ $\Box$

Ví dụ 3. Xét phép thử ngẫu nhiên: Chọn một quân bài từ $\displaystyle 52$ quân bài. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ của phép thử là tập tất cả $\displaystyle 52$ quân bài. Ta quan tâm đến bốn biến cố sau:

$\displaystyle A$ : Quân bài là một con Át.

$\displaystyle B$ : Quân bài có màu đen.

$\displaystyle C$ : Quân bài có chất Rô.

$\displaystyle D$ : Quân bài có chất Cơ.

Như một tập hợp $\displaystyle D=$ {Át cơ, 2 cơ , 3 cơ,…, K cơ}. Ta có thể tạo ra nhiều biến cố từ bốn biến cố này.

$\displaystyle A\cap B$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át màu đen.

$\displaystyle A\cup C$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át hoặc có chất Rô.

$\displaystyle A\cup C\cup D$ là sự kiện quân bài rút ra là quân Át hoặc có màu đỏ. $\Box$

Định nghĩa (Định nghĩa ngây thơ của xác suất). Cho $\displaystyle A$ là một biến cố (sự kiện) của một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu hữu hạn $\displaystyle \Omega$ . Khi đó xác suất của $\displaystyle A$ , hay xác suất xảy ra $\displaystyle A$ , là $\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{\mid A\mid }{\mid \Omega\mid}.$

Theo định nghĩa thì $\displaystyle 0\leq \mathbb{P}(A)\leq 1$ , với mọi sự kiện $\displaystyle A$ . Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\emptyset$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố rỗng hay biến cố không thể. Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ hai xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\Omega$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố chắc chắn. Để tính xác suất của biến cố $\displaystyle A$ , ta cần tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của $\displaystyle A$ (như một tập hợp).

Ví dụ 4. Tung hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ .

Lời giải. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ là tập tất cả các cặp $\displaystyle (a,b)$ với $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ thuộc $\displaystyle \{1,2,\ldots,6\}$ . Tập các kết quả thuận lợi cho biến cố tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ là $\displaystyle \{(5,5),(6,4),(4,6)\}$ , suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle 3/36=1/12\approx 0.0833$ . $\Box$

Ví dụ 5. Một ván bài $\displaystyle 5$ lá được chia từ một bộ bài $\displaystyle 52$ lá tiêu chuẩn, được xáo trộn kỹ lưỡng. Ván bài được gọi là cù lũ trong poker nếu nó bao gồm ba lá bài ở cấp độ nào đó và hai lá bài ở cấp độ khác, ví dụ: ba lá bài $\displaystyle 7$ và hai lá bài $\displaystyle 10$ (theo bất kỳ thứ tự nào). Xác suất để có một cù lũ bằng bao nhiêu?

Lời giải. Không gian mẫu là họ tất cả các tập con gồm $\displaystyle 5$ lá bài trong bộ bài đã cho. Ta có ngay $\displaystyle \mid \Omega \mid =C_{52}^5$ . Có $\displaystyle 13\times 12$ cách chọn lần lượt hạng của bộ ba và đôi trong một cù lũ. Sau đó, có $\displaystyle C_4^3\times C_4^2$ cách chọn lần lượt một bộ ba và một đôi trong các hạng đã chọn trước đó. Suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle \frac{13\times 12\times C_4^3\times C_4^2}{C_{52}^5}=\frac{3744}{2598960}\approx 0.0014.$ $\Box$

Continue reading →