USA TST 2026 – T's Lab

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733926p36710571

Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng ta có thể tô màu các hệ số khác không của đa thức

$\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\prod_{k=0}^{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-k)$

bằng $2^n-1$ màu sao cho tổng các hệ số của mỗi màu bằng $0$ , và mỗi màu được sử dụng ít nhất một lần.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733954p36710650

Cho $p$ là một số nguyên tố và $a, b$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $p$ . Chứng minh rằng

$\displaystyle\sum_{k=1}^{b}(-1)^{\lfloor(a-1)k/p\rfloor+\lfloor ak/p\rfloor}\ge0.$

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733942p36710611

Chứng minh rằng với bất kỳ tập hợp con $S$ nào của $\mathbb{R}^{2}$ , tồn tại một hình chữ nhật có diện tích bằng $1$ mà phần trong của nó chứa hoặc $0$ điểm, hoặc nhiều hơn $2025$ điểm của $S$ .