Bài 1. Xét phép toán sau trên các số thực dương được viết trên bảng: Chọn một số được viết trên bảng, xóa số đó, và sau đó viết một cặp số thực dương và thỏa mãn điều kiện lên bảng. Giả sử ban đầu bạn chỉ có một số thực dương trên bảng, và thực hiện phép toán này lần để cuối cùng thu được số thực dương, không nhất thiết phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một số trên bảng không vượt quá .

Bài 2. Cho là các số thực thỏa mãn với . Tìm giá trị của (Biểu diễn giá trị dưới dạng một phân số duy nhất.)

Bài 3. Cho ba đường tròn không giao nhau và rời nhau từng đôi một trên mặt phẳng. Với mỗi điểm trên mặt phẳng, nằm ngoài ba đường tròn, dựng sáu điểm như sau: Với mỗi , là các điểm phân biệt trên đường tròn sao cho các đường thẳng và đều là tiếp tuyến của . Gọi điểm là điểm ngoại lệ nếu, từ cách dựng trên, ba đường thẳng đồng quy. Chứng minh rằng mọi điểm ngoại lệ trên mặt phẳng, nếu tồn tại, đều nằm trên cùng một đường tròn.

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , tồn tại một cấp số cộng , , , gồm các số hữu tỉ, trong đó là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với mỗi , sao cho các số nguyên dương đều phân biệt.

Bài 5. Larry và Rob là hai robot đi cùng một chiếc xe từ Argovia đến Zillis. Cả hai robot đều có quyền điều khiển vô lăng và rẽ theo thuật toán sau: Larry rẽ trái sau mỗi kilômét lái xe tính từ điểm xuất phát; Rob rẽ phải sau mỗi kilômét lái xe tính từ điểm xuất phát, trong đó và là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Trong trường hợp cả hai lượt rẽ xảy ra đồng thời, xe sẽ tiếp tục đi thẳng mà không chuyển hướng. Giả sử mặt đất bằng phẳng và xe có thể di chuyển theo bất kỳ hướng nào. Giả sử xe xuất phát từ Argovia và hướng về phía Zillis. Với những lựa chọn nào của cặp thì xe được đảm bảo sẽ đến Zillis, bất kể khoảng cách từ Argovia là bao xa?