Japan MO – T's Lab

Bài 1. Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên sao cho $P(n^{2})=0$ với một số nguyên khác không $n$ nào đó. Chứng minh rằng $P(a^{2})\ne1$ với mọi số hữu tỉ $a\ne0$ .

Bài 2. Có 2008 thẻ đỏ và 2008 thẻ trắng. 2008 người chơi ngồi thành một vòng tròn hướng mặt vào trong, với tình trạng ban đầu là mỗi người được chia 2 thẻ. Mỗi người thực hiện quy trình sau trong cùng một lượt:
(*) Nếu bạn có nhiều hơn một thẻ đỏ, bạn sẽ chuyển một thẻ đỏ cho người ngồi liền kề bên trái.

Nếu bạn không có thẻ đỏ nào, bạn sẽ chuyển một thẻ trắng cho người ngồi liền kề bên trái.
Tìm giá trị lớn nhất của số lượt cần thiết để đạt được trạng thái mà tất cả mọi người đều có một thẻ đỏ và một thẻ trắng lần đầu tiên.

Bài 3. Cho tam giác nhọn $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Đường tròn đi qua hai điểm $A, O$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $P, Q$ (khác $A$ ). Nếu độ dài các đoạn thẳng $PQ$ và $BC$ bằng nhau, hãy tìm góc $\le90^{\circ}$ tạo bởi hai đường thẳng $PQ$ và $BC$ .

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)f(f(x)-y)=xf(x)-yf(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ .

Bài 5. Có tồn tại hay không một số nguyên dương $n$ sao cho với mọi số hữu tỉ $r$ , tồn tại một số nguyên $b$ và các số nguyên khác không $a_{i}$ ( $i=1,2,\dots, n$ ) thỏa mãn $r=b+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}$ ?