China Team Selection Test 2016 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1. ABCDEF là lục giác nội tiếp với AB=BC=CD=DE. K là điểm trên cạnh AE sao cho \angle BKC=\angle KFE, \angle CKD = \angle KFA. Chứng minh KC=KF.

Bài 2. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mọi số phức {z_1},{z_2},{z_3}\in\{z\in C\big| |z|<1\} , nếu  z_1+z_2+z_3=0, thì \left|z_1z_2 +z_2z_3+z_3z_1\right|^2+\left|z_1z_2z_3\right|^2 <\lambda .

Bài 3. Cho số tự nhiên n \geq 2. Đặt

X = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_n) | a_k \in \{0,1,2,\cdots,k\}, k = 1,2,\cdots,n \}.

Với mỗi s = (s_1,s_2,\cdots,s_n) \in X, t = (t_1,t_2,\cdots,t_n) \in X, định nghĩa

s \vee t = (\max \{s_1,t_1\},\max \{s_2,t_2\}, \cdots , \max \{s_n,t_n\} )

s \wedge t = (\min \{s_1,t_1 \}, \min \{s_2,t_2,\}, \cdots, \min \{s_n,t_n\})

Tìm số phần tử lớn nhất có thể của một tập con thực sự A của X sao cho với mỗi s,t \in A, ta có s \vee t \in A, s \wedge t \in A. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (1)”

China National Olympiad 2013


Bài 1. Hai đường tròn K_1,K_2 khác bán kính cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi C,D lần lượt là hai điểm trên K_1,K_2 tương ứng sao cho A là trung điểm của CD. Kéo dài DB đến cắt K_1 tại E, kéo dài CB đến cắt K_2 tại F. Gọi l_1,l_2 lần lượt là trung trực của CD,EF.

a) Chứng minh rằng l_1,l_2 cắt nhau. Gọi P là giao điểm của chúng;

b) Chứng minh rằng CA,AP,PE là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

Bài 2. Tìm tất cả các tập con khác rỗng S gồm các số nguyên sao cho 3m-2n\in S\,\,\forall m,n\in S.

Bài 3. Tìm tất cả các số thực dương t sao cho: tồn tại tập vô hạn X các số thực thỏa mãn \max\{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td với mỗi x,y,z\in X, a\in\mathbb{R}d\in (0;+\infty).

Continue reading “China National Olympiad 2013”