## Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)

Ngày thứ nhất

Bài 1. Hai dãy số $\{u_{n}\}$, $\{v_{n}\}$ xác định bởi $u_{0} =u_{1} =1$ ,$u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2}$ $(n\geq 2)$$v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c$ ,$v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3}$ $(n\geq 3)$. Giả sử có số nguyên dương $N$ sao cho với $n> N$ ta có $u_{n}|v_{n}$. Chứng minh rằng $3a=2b+c$.

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ với $\odot O$ là đường tròn ngoại tiếp và $\odot I$ là đường tròn nội tiếp của nó. Các tiếp tuyến tại $B,C$ của $\odot O$ cắt nhau tại $L$, $\odot I$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $AY$ vuông góc với $BC$ tại $Y$, $AO$ cắt $BC$ tại $X$, và $OI$ cắt $\odot O$ tại $P,Q$. Chứng minh $P,Q,X,Y$ cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi $A,D,L$ là thẳng hàng.

Bài 3. Một hình chữ nhật $R$ được phân hoạch thành $2016$ hình chữ nhật con sao cho các cạnh của các hình chữ nhật con cùng phương với các cạnh của $R$. Các đỉnh của các hình chữ nhật con sẽ được gọi là các điểm. Mỗi đoạn cùng phương với các cạnh của $R$ nối hai điểm được gọi là cơ bản nếu nó không chứa điểm khác. Tìm số nhỏ nhất, lớn nhất các đoạn cơ bản. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)”

## Phương trình hàm-07/03/2016

Bài 1. Cho hàm số $f:(0;\infty)\to (0;\infty)$ thoả mãn điều kiện
$f(3x)\geq f(\dfrac{1}{2}f(2x))+2x\,\,\forall x>0.$ Chứng minh rằng $f(x)\geq x\,\,\forall x>0$.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to\ (0;\infty)$ sao cho
$f(f(x))=6x-f(x)\,\,\forall x\in (0;+\infty).$
Bài 3. Tìm tất cả các song ánh $f:(0;+\infty)\to\ (0;\infty)$ sao cho
$f(f(x))=6x+f(x)\,\,\forall x\in (0;+\infty).$
Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:[1,\infty)\to [1,\infty)$ sao cho
a) $f(x)\leq 2(x+1)\,\,\forall x\geq 1$
b) $f(x+1)=\dfrac{f^2(x)-1}{x}\,\,\forall x\geq 1$.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn
$f(x^2+y+f(y))=f^2(x)+2y\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.$
Bài 6. Tìm tất cả $f:(0;+\infty)\to\mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$;
2) $f(x)=f\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)\,\,\forall x\in (0;+\infty)$.
Bài 7. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho nó liên tục trên $\mathbb{R}$
$f(x+f(y+z))+f(y+f(z+x))+f(z+f(x+y))=0\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}.$ Continue reading “Phương trình hàm-07/03/2016”

## T-Math 1

Bài 1. Cho dãy số $(x_n)_{n\geq 1}$ xác định bởi
$x_1=x_2=1,\,\, x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3}\,\,\forall n\geq 2.$ Chứng minh $x_n<\dfrac{25}{4}\,\,\forall n\geq 1.$
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho có một hoán vị $(p_1,p_2,...,p_n)$ của $\{1,2,...,n\}$ để $\{p_1 +1, p_2 + 2,..., p_n +n\}$$\{p_1-1, p_2-2,...,p_n -n\}$ là các hệ thặng dư đầy đủ modulo $n$.
Bài 3. Cho $A$ là một tập hữu hạn các số thực dương, $B = \{\dfrac{x}{y}\mid x,y\in A\}$$C = \{xy\mid x,y\in A\}$. Chứng minh $|A|\cdot|B|\le|C|^2$.
Bài 4. Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ với $O_1,O_2$ là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC,ABD$ tương ứng. Đường thẳng $O_1O_2$ cắt các đoạn thẳng $BC,AD$ tại $E,F$ tương ứng.
a) Chứng minh có đường tròn $\Gamma$ tiếp xúc với các đường thẳng $BC,AD$ tại $E,F$ tương ứng;
b) Chứng minh $\Gamma$ cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$.

## Tổng và tích (2)

Bài 1. Tính tổng $\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\cdots+\dfrac{1}{99.100}$.
Bài 2. Tính tổng $S=1+2+3+4+\cdots+50.$

Bài 3. Tính tích $\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right).\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right).\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right).\cdots.\left(1-\dfrac{1}{100^2}\right).$

Bài 4. Tính $A=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{17}+\sqrt{18}}.$ Continue reading “Tổng và tích (2)”

## Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)

Bài 1. (2 điểm) Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+2m-3$. Tìm các giá trị của $m$ để hàm số có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $1$.

Bài 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình $\sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1.$
2) Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3(3y-2)=-8 \\ x(y^3+2)=-6\end{cases}$
Bài 3. (4 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x^2+3x+9}+\sqrt{x^2-3x+9}$;
2) Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a+b+ab=3.$ Chứng minh rằng $\dfrac{4a}{b+1}+\dfrac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab} \ge 4.$ Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)”

## Mở đầu về đường tròn (2)

Bài 9. Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. Hai dây cung $AC,BD$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng $AH.AC+BH.BD=AB^2.$
Bài 10. Cho hình thoi $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABD,ABC$. Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{R^2}+\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{4}{a^2}.$
Bài 11. Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. Gọi $CD$ là một dây của nó. Các đường thẳng vuông góc với $CD$ tại $C,D$ lần lượt cắt $AB$ tại $E,F$. Chứng minh rằng $AE=BF$.
Bài 12. Một trong các đường chéo của một tứ giác nội tiếp một đường tròn là đường kính của đường tròn đó. Chứng minh rằng độ dài các hình chiếu của các cạnh đối diện lên đường chéo còn lại bằng nhau.
Bài 13. Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. Gọi $CD$ là một dây của nó. Gọi $K,L$ lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ $A,B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CK=DL$.
Bài 14. Cho đường tròn $(O)$ với dây $AB$ không qua tâm. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$$CD$ là một dây khác $AB$ của $(O)$ đi qua $I$. Chứng minh rằng $CD>AB$.
Bài 15. Cho đường tròn $(O;R)$ với dây $AB$ thỏa mãn $\widehat{AOB}=120^{\circ}$. Tính $AB$ theo $R$.
Bài 16. Cho đường tròn $(O;R)$ với dây $AB$ thỏa mãn $\widehat{AOB}=150^{\circ}$. Tính $AB$ theo $R$. Continue reading “Mở đầu về đường tròn (2)”

## Bài tập Hàm số

1. Find all functions $f$ from the set $\mathbb{R}$ of real numbers into $\mathbb{R}$ which satisfy for all $x, y, z \in \mathbb{R}$ the identity

$f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz).$

2. Consider the function $f: \mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$, where $\mathbb{N}_0$ is the set of all non-negative integers, defined by the following conditions

(i)$f(0)=0$;

(ii)$f(2n)=2f(n)$ and

(iii)$f(2n+1)=n+2f(n)$ for all $n\geq 0$.

(a)Determine the three sets $L=\{ n | f(n) < f(n+1) \}$, $E=\{n | f(n)=f(n+1)\}$, and $G=\{n | f(n) > f(n+1)\}$.

(b)For each $k\geq 0$, find a formula for $a_k=\max\{f(n) : 0 \leq n \leq 2^k\}$ in terms of $k$.

3. Let $n$ be a positive integer. Find the largest nonnegative real number $f(n)$ (depending on $n$) with the following property: whenever $a_1,a_2,...,a_n$ are real numbers such that $a_1+a_2+\cdots +a_n$ is an integer, there exists some $i$ such that  $\left|a_i-\dfrac{1}{2}\right|\ge f(n)$.

4. Let ${\bf R}$ denote the set of all real numbers. Find all functions $f$ from ${\bf R}$ to ${\bf R}$ satisfying

(i)There are  only finitely many $s$ in ${\bf R}$ such that $f(s)=0$,

And

(ii)$f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))$ for all $x,y$ in ${\bf R}$.

5. Find all $a\in\mathbb{R}$ for which there exists a non-constant function $f: (0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ such that $a+f(x+y-xy)+f(x)f(y)\leq f(x)+f(y)$

for all $x,y\in(0,1].$

6. Consider function $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ which satisfies the conditions for any mutually distinct real numbers $a,b,c,d$ satisfying $\dfrac{a-b}{b-c}+\dfrac{a-d}{d-c}=0$, $f(a),f(b),f(c),f(d)$ are mutully different and

$\dfrac{f(a)-f(b)}{f(b)-f(c)}+\dfrac{f(a)-f(d)}{f(d)-f(c)}=0.$ Prove that function $f$ is linear.

7. Find all complex polynomial $P(x)$ such that for any three integers $a,b,c$ satisfying $a+b+c\not=0,$ $\dfrac{P(a)+P(b)+P(c)}{a+b+c}$ is an integer.

8. Find all functions $f:\mathbb{Q}^{+}\to\mathbb{Q}^{+}$ such that

$f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\dfrac{f(xy)}{f(x+y)}\forall x,y\in\mathbb{Q}^+.$

9. Let $\alpha$ be given positive real number, find all the functions $f:\mathbb{N}^{+}\to\mathbb{R}$ such that $f(k + m) = f(k) + f(m)$ holds for any positive integers $k$, $m$ satisfying $\alpha m \leq k \leq (\alpha + 1)m$.

10. Given non-zero reals $a$, $b$, find all functions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, such that for every $x, y \in \mathbb{R}$, $y \neq 0$, $f(2x)=af(x)+bx$ and $f(x)f(y)=f(xy)+f\left(\dfrac{x}{y}\right).$

11. Prove that for all integers $a > 1$ and $b > 1$ there exists a function $f$ from the positive integers to the positive integers such that $f(a\cdot f(n))=b\cdot n$ for all $n$ positive integer.

12. Find all functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that $f(xf(y)+f(x)) = 2f(x)+xy$ for every reals $x,y$.

13. Let $f(x)$ be a real-valued function defined on the positive reals such that

(1)If $x < y$, then $f(x) < f(y)$,

(2)$f\left(\dfrac{2xy}{x+y}\right) \geq\dfrac{f(x) + f(y)}{2}$ for all $x,y>0$.

Show that $f(x) < 0$ for some value of $x$.

14. Define $f$ on the positive integers by $f(n) = k^2 + k + 1$, where $n=2^k(2l+1)$ for some $k,l$ nonnegative integers. Find the smallest $n$ such that

$f(1) + f(2) + ... + f(n) \geq 123456.$

15. Find all functions $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ satisfying, for all $x\in\mathbb{N}$, $f(2f(x)) = x + 1998.$

16.  a) Show that there are no functions $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that $g(f(x)) = x^3$ and $f(g(x)) = x^2$ for all $x\in\mathbb{R}$.

b)Let $S$ be the set of all real numbers greater than $1$. Show that there are functions $f,g:S\to S$ satsfying the condition above.

17. Let $f(x)= x^2-C$ where $C$ is a rational constant. Show that exists only finitely many rationals $x$ such that $\{x,f(x),f(f(x)),\cdots\}$ is finite.

18. Find all real-valued functions on the positive integers such that $f(x + 1019) = f(x)$ for all $x$, and $f(xy) = f(x)f(y)$for all $x,y$.

19. Find at least one function $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that $f(0)=0$ and $f(2x+1) = 3f(x) + 5$ for any real $x$.

20. Let $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $F_n(x)=f(f(f\cdots (f(x))\cdots))$ (with $n\ f's$). Suppose that $f(0)\not =0$, $f(f(0))\not =0$, and for some $n$ we have $F_n(0)=0$, show that $F_n(x)=x$ (for any valid $x$).

21. Find all functions $f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ such that for all $x,y \in \mathbb{Z}$ $f(x-y+f(y))=f(x)+f(y).$

22. Find all functions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ such that $\forall x,y,z\in\mathbb{R}$ we have: If $x^3+f(y) \cdot x+f(z)=0,$ then $f(x)^3+y \cdot f(x)+z=0.$

23. Let $S\subseteq\mathbb{R}$ be a set of real numbers. We say that a pair $(f, g)$ of functions from $S$ into $S$ is a Spanish Couple on $S$, if they satisfy the following conditions

(i) Both functions are strictly increasing, i.e. $f(x) < f(y)$ and $g(x) < g(y)$ for all $x$, $y\in S$ with $x < y$;

(ii) The inequality $f\left(g\left(g\left(x\right)\right)\right) < g\left(f\left(x\right)\right)$ holds for all $x\in S$.

Decide whether there exists a Spanish Couple

a)On the set $S=\mathbb{N}$ of positive integers;

b)On the set $S=\{a-\dfrac{1}{b}: a, b\in\mathbb{N}\}$.

24. For every $n\in\mathbb{N}$ let $d(n)$ denote the number of (positive) divisors of $n$. Find all functions $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ with the following properties:

a)$d\left(f(x)\right)=x$ for all $x\in\mathbb{N}$, and

b)$f(xy)$ divides $(x-1)y^{xy-1}f(x)$ for all $x$, $y\in\mathbb{N}$.

25. Consider those functions $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ which satisfy the condition $f(m+n) \geq f(m)+f(f(n))-1$ for all $m,n\in\mathbb{N}.$ Find all possible values of $f(2007).$

26. Find all surjective functions $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ such that for every $m,n\in\mathbb{N}$ and every prime $p,$ the number $f(m+n)$ is divisible by $p$ if and only if $f(m)+f(n)$ is divisible by $p.$

27. Find all real polynomials $f$ such that $2yf(x+y)+(x-y)(f(x)+f(y)) \geq 0\forall x,y\in\mathbb{R}.$

28. Determine all functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ with $x,y\in\mathbb{R}$ such that $f(x-f(y))=f(x+y)+f(y).$

29. Show that for positive integer $n$, and for $x\not =0$,

$\left(x^{n-1}\sin\dfrac{1}{x}\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^n}{x^{n+1}}\sin\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{n\pi}{2}\right).$

30. Find all $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that

$f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$

for every pair of real numbers $x,y$.

## Đếm bằng truy hồi (1)

C1. Cho số nguyên $n>1$. Hãy tìm số các hoán vị $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ của $\{1,2,\cdots,n\}$ sao cho tồn tại duy nhất $i$ để $a_i>a_{i+1}$.

C2. Cho $n>1$ là một số nguyên dương. Tìm số các tập con của $\{1,2,\cdots,n\}$ sao cho trong mỗi tập con có ít nhất hai phần tử là hai số nguyên liên tiếp.

C3. Cho $n>1$ thí sinh ngồi quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách phát đề sao cho hai thí sinh ngồi cạnh nhau luôn có đề khác nhau, biết rằng trong ngân hàng đề có đúng $m>1$ đề và mỗi đề có nhiều bản.

C4. Cho một mặt cầu. Một đường tròn lớn của mặt cầu là đường tròn nằm trong một mặt phẳng đi qua tâm của cầu và nằm trên mặt cầu. $5$ đường tròn lớn khác nhau chia mặt cầu thành $n$ phần. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của $n$.

C5. Một tập hữu hạn các số nguyên dương được gọi là tốt nếu mỗi phần tử của nó ít nhất bằng số phần tử của nó. (Tập rỗng cũng được xem là tốt) Gọi $a_n$ là số tập con tốt của $[n]$ mà không chứa hai số liên tiếp, và $b_n$ là số các tập con của $[n]$ mà hai phần tử bất kì khác nhau ít nhất $3$. Chứng minh rằng $a_n=b_n$ với mỗi $n\geq 0.$

C6. Sử dụng các chữ số $0,1,2,3,4$ ta có thể lập bao nhiêu dãy $10$ chữ số sao cho hay chữ số cạnh nhau vênh nhau $1$?

C7. Gọi $A_n$ là kí hiệu tập các đoạn mã độ dài $n$ hình thành bởi sử dụng các chữ $a,b,c$ sao cho không có các chữ $a$ hay $b$ đứng cạnh nhau. $B_n$ là tập các đoạn mã độ dài $n$ hình thành từ các chữ $a,b,c$ sao cho không có $3$ chữ phân biệt đứng cạnh nhau. Chứng minh rằng $|B_{n+1}|=3|A_n|\forall n\geq 1.$

## Bài số 5 trong CMO 2010

Năm nay Canada đã tổ chức kì thi Toán Quốc gia của họ rồi, đề thi các bạn có thể xem ở đây. Trong này có bài đa thức khá hay, vừa cần chút kiến thức về Số học vừa cần tý Đại số và Giải tích. Đề bài như sau

Bài toán. Cho $P,Q$ là các đa thức với hệ số nguyên và $(a_n)$ là dãy xác định bởi $a_n=n!+n\forall n\geq 1.$ Chứng minh rằng nếu $P(a_n)/Q(a_n)\in\mathbb{Z}\forall n\geq 1$ thì $P(n)/Q(n)\in\mathbb{Z}$ với mỗi số nguyên $n$ không là nghiệm của $Q$.

Các bạn cùng làm xem. Bây giờ lời giải chưa có ở đâu cả.