Đề thi chọn học sinh giỏi Toán vòng 1


Bài 1. (4 điểm)

Giải hệ phương trình sau trên \mathbb{R}

\begin{cases}x^2+y^2+\dfrac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^2-y.\end{cases}

Bài 2. (5 điểm)

Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy (x_n)_{n\geq 0} xác định bởi x_0=ax_{n+1}=\dfrac{1}{4}+x_n-x_n^2\,\,\,\forall n\in\mathbb{N} có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy này trong các trường hợp đó.

Bài 3. (5 điểm)

Cho ABCD là một tứ giác lồi có T là giao điểm của hai đường chéo. Giả sử trực tâm của tam giác ABT trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác CDT. Chứng minh rằng

a) Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp;

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDT nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Bài 4. (3 điểm)

Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn xP(x-1)=(x-17)P(x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 5. (3 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

a) n có đúng 16 ước dương;

b) Nếu kí hiệu các ước dương của n1=d_1<d_2<\cdots<d_{16}=n thì d_6=18d_9-d_8=17.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10; THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh; năm học 2010-2011; môn Toán chuyên


Bài 1.

Cho biểu thức M=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{7} với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn M;

b)Tính M khi x=3-2\sqrt{2}.

Bài 2.

a)Giải hệ phương trình \begin{cases}(x^2+xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=185\\(x^2-xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=65.\end{cases}

b)Cho phương trình mx^3-(m^2+1)x^2-m^2x+m+1=0(1).

i)Chứng minh x=-1 là một nghiệm của (1);

ii)Tìm m để (1) có ba nghiệm phân biệt.

Bài 3.

Cho \Delta ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ AH vuông góc với BC(H\in BC)BE vuông góc với đường kính AD(E\in AD).

a)Chứng minh HE||DC;

b)Qua trung điểm K của AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M. Chứng minh \Delta MHE cân.

Bài 4.

Cho -1\leq a,b,c\leq 2 thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh a^2+b^2+c^2\leq 6.

Bài 5.

Cho hình chữ nhật ABCDAB=5cm,BC=2cm. Trên cạnh AB lấy I bất kỳ(I\not = A,B). Kẻ IM vuông góc với AC(M\in AC)IN vuông góc với DC(N\in DC). Tìm vị trí I để AN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \Delta IMN.