Month: July 2026

USA TSTST 2026


USA TSTST (Team Selection Test Selection Test) là một trong những kỳ thi cốt lõi trong quy trình tuyển chọn đội tuyển Olympic Toán học Quốc tế (IMO) của Hoa Kỳ.

Dưới đây là một số thông tin tổng quan về kỳ thi này:

  • Thời điểm và đối tượng: Kỳ thi được tổ chức vào cuối chương trình Trại hè Toán học (MOP – Mathematical Olympiad Program). Tất cả học sinh tham gia MOP chưa tốt nghiệp trung học đều đủ điều kiện dự thi.
  • Cấu trúc đề thi: TSTST mô phỏng chính xác định dạng của kỳ thi IMO. Kỳ thi diễn ra trong 3 ngày, mỗi ngày học sinh phải giải quyết 3 bài toán trong thời gian 4,5 giờ.
  • Mục tiêu tuyển chọn: Kết quả của TSTST được dùng để chọn ra một nhóm học sinh xuất sắc (thường rơi vào khoảng 25–35 em, tùy chất lượng từng năm) để tham dự chuỗi USA Team Selection Tests (TST) trải dài trong năm học kế tiếp.
  • Chốt danh sách đội tuyển: Thành tích đạt được ở kỳ thi USAMO cùng với tổng điểm từ các kỳ TST sẽ quyết định 6 thành viên chính thức đại diện Hoa Kỳ tham dự IMO.

Một lưu ý lịch sử thú vị: Trước năm 2011, quy trình tuyển chọn của Hoa Kỳ không có vòng TSTST (chỉ đi thẳng từ MOP → TST → IMO). Việc bổ sung kỳ thi này từ năm 2011 đã giúp mở rộng cơ hội cạnh tranh và chuẩn hóa chuyên nghiệp hơn quy trình tuyển chọn đội tuyển của cường quốc Toán học này.

Dưới đây là đề năm 2026.

usatstst2026Download

A Proof of Brill’s Theorem via Directional Derivatives


Let K be the field of real numbers \mathbb{R} or the field of complex numbers \mathbb{C}. Given a vector v = (v_1, \ldots, v_n) \in K^n. The directional derivative operator with respect to the vector v, denoted by D_v, is a map from the ring K[x_1, \ldots, x_n] to itself, defined by

\displaystyle D_v(P) = \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial P}{\partial x_i},

where \frac{\partial P}{\partial x_i} is the formal partial derivative of the polynomial P with respect to the variable x_i.

Theorem 1. Let P, Q \in K[x_1, \ldots, x_n], constants a, b \in K, and a linear form L(x) = c_1x_1 + \ldots + c_nx_n. The operator D_v has the following properties.

(1) D_v(aP + bQ) = aD_v(P) + bD_v(Q).

(2) D_v(PQ) = D_v(P)Q + P D_v(Q).

(3) For any positive integer k, D_v(P^k) = k P^{k-1} D_v(P).

(4) D_v(L) = L(v).

Proof. (1) By the definition of the partial derivative of a polynomial, we have

\displaystyle \frac{\partial (aP + bQ)}{\partial x_i} = a\frac{\partial P}{\partial x_i} + b\frac{\partial Q}{\partial x_i},

thus we immediately obtain \displaystyle D_v(aP + bQ) = aD_v(P) + bD_v(Q).

(2) Since the formal partial derivative obeys the product rule

\displaystyle \frac{\partial (PQ)}{\partial x_i} = \frac{\partial P}{\partial x_i}Q + P\frac{\partial Q}{\partial x_i} we have

\displaystyle D_v(PQ) = \sum_{i=1}^n v_i \left( \frac{\partial P}{\partial x_i}Q + P\frac{\partial Q}{\partial x_i} \right)

\displaystyle = \left( \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial P}{\partial x_i} \right) Q + P \left( \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial Q}{\partial x_i} \right) = D_v(P)Q + P D_v(Q).

(3) We prove this by mathematical induction on k.

For k=1, the formula becomes D_v(P^1) = 1 \cdot P^0 \cdot D_v(P), which is trivially true.

Suppose the property holds for k-1, that is

\displaystyle D_v(P^{k-1}) = (k-1)P^{k-2}D_v(P).

Applying (2), we obtain

\displaystyle D_v(P^k) = D_v(P)P^{k-1} + P D_v(P^{k-1})

=D_v(P)P^{k-1} + P \big( (k-1)P^{k-2}D_v(P) \big)=k P^{k-1} D_v(P).

By the principle of mathematical induction, the property holds for all positive integers k.            

(4) For a linear form L(x) = c_1x_1 + \ldots + c_nx_n, we have

\displaystyle D_v(L) = \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial L}{\partial x_i} = \sum_{i=1}^n v_i c_i = L(v).

The theorem is completely proved. \Box

Theorem 2 (Brill). Suppose K is the field of real numbers \mathbb{R} or the field of complex numbers \mathbb{C}. Let L_1, L_2, \ldots, L_m be m non-zero linear forms in n (n>1) variables that are pairwise non-proportional over K. Then, for any integer k \ge m-1, the set of powers \{L_1^k, L_2^k, \ldots, L_m^k\} is linearly independent over K.

Proof. We prove the theorem by mathematical induction on the number of linear forms m. For m=1, we have 1 non-zero linear form L_1. For any integer k \ge 0, the polynomial L_1^k is not the zero polynomial, so the set consisting of only one element \{L_1^k\} is trivially linearly independent. Thus, the assertion holds for m=1.              

Now suppose the assertion holds for m-1 linear forms, for some integer m > 1. Consider m non-zero pairwise non-proportional linear forms L_1, \ldots, L_m and an exponent k \ge m-1.

Consider the linear relation

\displaystyle \sum_{i=1}^m c_i L_i^k = 0 (1)

where c_i \in K. We need to show that c_i = 0 for all i = 1, \ldots, m.              

Since L_m is not identically 0, the set of points x \in K^n such that L_m(x) = 0 is an (n-1)-dimensional vector subspace of the space K^n. At the same time, since L_i is not proportional to L_m for all i < m, the intersection of the two spaces L_i(x) = 0 and L_m(x) = 0 is an (n-2)-dimensional subspace.

The field K has characteristic 0 and is therefore an infinite field. A vector space over an infinite field cannot be the union of finitely many proper subspaces (see [1]). Therefore, there exists a vector v = (v_1, \ldots, v_n) \in K^n such that L_m(v) = 0 and \displaystyle L_i(v) \neq 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1.

Consider the directional derivative operator with respect to the vector v defined as follows

\displaystyle D_v = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial}{\partial x_j}.

When applying D_v to a linear form \displaystyle L(x) = a_1x_1 + \ldots + a_nx_n,

we have \displaystyle D_v(L) = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n = L(v).

When applying this operator to the k-th power of L, we obtain

\displaystyle D_v(L^k) = k \cdot L^{k-1} \cdot D_v(L) = k \cdot L(v) \cdot L^{k-1}.

Applying the operator D_v to both sides of equation (1), we have

\displaystyle \sum_{i=1}^m c_i k L_i(v) L_i^{k-1} = 0.

Since L_m(v) = 0, the m-th term vanishes completely. Since m \ge 2, we have k \ge m-1 \ge 1, so we can divide both sides by k (which is valid since K has characteristic 0) to obtain

\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1} \big(c_i L_i(v)\big) L_i^{k-1} = 0.

Since k \ge m-1, we deduce that k-1 \ge m-2. Applying the inductive hypothesis to m-1 linear forms with the exponent k-1, the set of polynomials \{L_1^{k-1}, \ldots, L_{m-1}^{k-1}\} is linearly independent. Therefore, all coefficients in the sum above must be zero. That is,

\displaystyle c_i L_i(v) = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1. But by the choice of the vector v, we already have L_i(v) \neq 0, so we must have \displaystyle c_i = 0, \quad \forall i = 1, \ldots, m-1. Substituting c_1 = \ldots = c_{m-1} = 0 back into (1), we have c_m L_m^k = 0. Since L_m is not zero, c_m = 0.            

Thus c_1 = c_2 = \ldots = c_m = 0, and \{L_1^k, L_2^k, \ldots, L_m^k\} is linearly independent. By the principle of mathematical induction, the theorem is proved. \Box

References

[1] https://nttuan.org/2010/02/04/finite-unions-of-proper-subspaces-over-an-infinite-field/