USA TSTST 2017


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC nội tiếp đường tròn \displaystyle \Gamma có tâm \displaystyle O, và trực tâm \displaystyle H. Giả sử \displaystyle AB\neq AC\displaystyle \angle A \neq 90^{\circ}. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC, và \displaystyle E\displaystyle F lần lượt là chân các đường cao hạ từ \displaystyle B\displaystyle C của tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle P là giao điểm của \displaystyle MN với tiếp tuyến của \displaystyle \Gamma tại \displaystyle A. Gọi \displaystyle Q là giao điểm thứ hai của \displaystyle \Gamma với \displaystyle (AEF). Gọi \displaystyle R là giao điểm của \displaystyle AQ\displaystyle EF. Chứng minh rằng \displaystyle PR\perp OH.
Bài 2. Ana và Banana đang chơi một trò như sau: Đầu tiên Ana chọn một từ, là dãy khác rỗng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh. Sau đó Banana chọn một số tự nhiên \displaystyle k và đố Ana đưa ra một từ có đúng \displaystyle k dãy con bằng với từ của Ana. Ana thắng nếu có thể đưa ra một từ như thế, nếu không, cô ấy sẽ thua. Từ nào mà khi Ana chọn cô ấy sẽ luôn thắng với mọi cách chọn \displaystyle k của Banana?
Bài 3. Xét phương trình \displaystyle x^2-cx+1 = \dfrac{f(x)}{g(x)}, ở đây \displaystyle f\displaystyle g là các đa thức với hệ số thực không âm. Với \displaystyle c>0, xác định giá trị nhỏ nhất của \displaystyle \deg f hoặc chứng tỏ \displaystyle f,g không tồn tại.

Continue reading “USA TSTST 2017”

Bulgaria MO 2016


Ngày thứ nhất
Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle m\displaystyle n sao cho \displaystyle (2^{2^{n}}+1)(2^{2^{m}}+1) chia hết cho \displaystyle m\cdot n .
Bài 2. Trong một cuộc thi toán có \displaystyle n học sinh tham gia, mỗi học sinh phải giải \displaystyle 6 bài toán, mỗi bài toán có \displaystyle 3 câu trả lời. Sau khi chấm bài, ban tổ chức thấy rằng với mỗi hai học sinh, số bài toán mà họ có cùng câu trả lời là \displaystyle 0 hoặc \displaystyle 2. Tìm giá trị lớn nhất của \displaystyle n.
Bài 3. Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng
\displaystyle \frac {a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4} \leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}.

Continue reading “Bulgaria MO 2016”

Turkey TST 2017 (3)


Các bạn có thể xem ngày thứ hai ở đây.

Ngày thứ ba
Bài 7. Cho số thực \displaystyle a. Tìm số hàm \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
\displaystyle f(xy+f(y))=f(x)y+a,\quad \forall x, y\in \mathbb{R}.
Bài 8. Cho tam giác \displaystyle ABC với các phân giác trong \displaystyle BD\displaystyle CE. Gọi \displaystyle I_{c} là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh \displaystyle C\displaystyle F là trung điểm của \displaystyle BI_{c}. Chứng minh rằng nếu \displaystyle CF^2=CE^2+DF^2 thì tam giác \displaystyle ABC là một tam giác đều. Continue reading “Turkey TST 2017 (3)”

Turkey TST 2017 (2)


Các bạn có thể xem ngày đầu ở đây.

Ngày thứ hai

Bài 4. Trong phòng có n sinh viên tuổi đôi một khác nhau. Biết rằng mỗi sinh viên A bắt tay với ít nhất một sinh viên mà sinh viên này không bắt tay với ai khác trẻ hơn A. Tìm tất cả n để điều này có thể xảy ra.

Bài 5. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng a^3b+b^3c+c^3a+9\geq 4(ab+bc+ca). Continue reading “Turkey TST 2017 (2)”

Turkey TST 2017 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1.Tìm tất cả các số nguyên dương m,n và số nguyên tố p sao cho (m^3+n)(n^3+m)=p^3.

Bài 2. Cho một quốc gia có 2017 thành phố. Có các đường bay 2 chiều giữa một số cặp thành phố sao cho với mỗi 2 thành phố, ta có thể đi từ thành phố này đến thành phố kia bằng một dãy đường bay. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho: với mọi cách thiết kế đường bay, tồn tại k thành phố để mỗi thành phố khác đều có thể bay đến trực tiếp một trong k thành phố này. Continue reading “Turkey TST 2017 (1)”

Bankan MO 2017


Bài 1. Giải phương trình x^3+y^3=x^2+42xy+y^2\quad (x,y\in\mathbb{N}^*).

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với AB<AC\omega là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi t_Bt_C là hai tiếp tuyến của \omega tại BC tương ứng, và L là giao điểm của chúng. Đường thẳng qua B và song song với AC cắt t_C tại D. Đường thẳng qua C và song song với AB cắt t_B tại E. (BDC) cắt đoạn AC tại T. (BEC) cắt AB tại S sao cho B nằm giữa SA. Chứng minh rằng ST, ALBC đồng quy.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\longrightarrow\mathbb{N}^* sao cho

n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\quad \forall m,n\in \mathbb{N}^*. Continue reading “Bankan MO 2017”

China TST 2003 – Test 3/ Problem 3


Bài toán. Cho \displaystyle x_0+\sqrt{2003}y_0 là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell \displaystyle x^2-2003y^2=1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương \displaystyle (x,y) của phương trình sao cho \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x.

Lời giải. Từ giả thiết, tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle x+\sqrt{2003}y=(x_0+\sqrt{2003}y_0)^n.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \displaystyle n chẵn.

Ta có \displaystyle x\equiv 2003^{n/2}y_0^n\pmod{x_0}, trái với giả thiết \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x. Continue reading “China TST 2003 – Test 3/ Problem 3”

China TST 2014 – Test 3/Problem 3


Bài toán.  Chứng minh rằng không tồn tại cặp (x,y) các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle (x+1) (x+2)\cdots (x+2014)= (y+1) (y+2)\cdots (y+4028).

Lời giải. Tồn tại số nguyên dương i sao cho \displaystyle v_2(x+i)=\max_{1\leq j\leq 2014} v_2(x+j). Suy ra với mỗi 1\leq j\leq 2014, j\not=i ta có v_2(x+j)=v_2(x+i+(j-i))=v_2(j-i), thật vậy, không thể có v_2(j-i)>v_2(x+i), vì nếu không, v_2(j-i)>v_2(x+i)\,\forall i, do đó v_2(j-i)\geq 11 vì trong vế trái sẽ có số chia hết cho 1024, suy ra |j-i|\geq 2^{11}, vô lý. Continue reading “China TST 2014 – Test 3/Problem 3”