The Isoperimetric Inequality for Polygons

Trong tất cả các đa giác $n$ cạnh có cùng chu vi, đa giác nào có diện tích lớn nhất? Đáp án là đa giác đều: nếu đa giác đơn có chu vi $L$ và diện tích $S$ thì $S \le \frac{L^2}{4n\tan(\pi/n)}$ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đa giác đều. Bài viết trình bày hai chứng minh: một bằng giải tích Fourier rời rạc, một bằng phương pháp hình học cực trị. Nội dung đầy đủ ở file PDF bên dưới.

isoperime.ineq Download

Làm thế nào để cải thiện trực giác Toán học?

Trực giác Toán học có thể được hiểu là khả năng nhận ra các mẫu hình, mối liên hệ, hoặc cách tiếp cận một bài toán mà không cần dựa hoàn toàn vào các bước suy luận logic chi tiết. Trực giác này giống như một “cảm giác” về Toán học, cho phép người học dự đoán, hình dung, và đưa ra giả thuyết một cách tự nhiên. Trực giác Toán học không phải là một “phép màu” hay sự đoán mò. Nó được xây dựng dựa trên kinh nghiệm, sự quen thuộc với các khái niệm Toán học, và khả năng liên kết các ý tưởng. Nhà Toán học nổi tiếng Henri Poincaré từng mô tả trực giác như một công cụ giúp ông khám phá các ý tưởng mới, nhưng chỉ khi kết hợp với tư duy logic thì trực giác mới trở thành nền tảng cho những khám phá lớn.

Để cải thiện trực giác Toán học, bạn cần rèn luyện khả năng nhận diện các cấu hình, hiểu sâu các khái niệm và áp dụng chúng một cách linh hoạt. Dưới đây là một số kinh nghiệm hữu ích:

1. Thay vì chỉ học thuộc khái niệm hay định lý, hãy tìm hiểu tại sao chúng hoạt động. Đọc các chứng minh khác nhau khi học định lý, cố gắng nắm rõ ý tưởng chứng minh. Ngoài ra, có thể tự hỏi: Khái niệm này đến từ đâu? Ý nghĩa của kết quả này là gì? Nếu thay đổi hay bỏ bớt điều kiện, kết quả sẽ ra sao? Nó còn đúng không? Việc tìm câu trả lời sẽ kích thích tư duy trực giác và khả năng liên kết.

2. Giải nhiều bài toán ở các mức độ khác nhau, kể cả các bài toán mở. Các bài toán hình học, đại số, hay tổ hợp thường giúp phát triển trực giác nhờ tính trực quan. Những bài toán mở khuyến khích bạn suy nghĩ sáng tạo và hình dung cách giải quyết vấn đề.

3. Vẽ hình, biểu đồ, hoặc sơ đồ để minh họa bài toán. Chúng giúp bạn “thấy” được các mối liên hệ. Sử dụng các công cụ như GeoGebra hoặc giấy và bút để thử nghiệm các ý tưởng.

4. Thử giải bài toán theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, một bài toán hình học có thể được giải bằng đại số, lượng giác, hoặc hình học thuần túy. Điều này giúp bạn phát triển sự linh hoạt và nhận ra các mẫu ẩn. Khi gặp bài toán khó, hãy cố gắng chia nhỏ hoặc giải các bài toán đơn giản hơn.

5. Khi giải sai hay không giải được một bài toán, hãy dừng lại và phân tích lý do. Hỏi bản thân: “Mình đã bỏ qua điều gì?” hoặc “Có tính chất nào mình chưa nhận ra không?” Đây là cơ hội để phát triển trực giác, vì chúng chỉ ra những điểm mù trong tư duy.

6. Đọc và học từ các nguồn chất lượng. Đọc sách, xem video bài giảng hoặc bài viết của các nhà Toán học nổi tiếng để hiểu cách họ tiếp cận vấn đề. Các cuốn sách như “How to Solve It” của George Polya hoặc “The Art and Craft of Problem Solving” của Paul Zeitz rất hữu ích.

7. Hãy học hỏi từ những người khác ngoài thầy trực tiếp dạy bạn. Tham gia các nhóm học Toán hoặc diễn đàn như Art of Problem Solving. Thảo luận với người khác giúp tiếp cận các cách suy nghĩ mới và củng cố trực giác của mình. Dạy lại khái niệm cho người khác. Khi bạn giải thích một ý tưởng Toán học, bạn buộc phải hiểu nó sâu hơn, từ đó cải thiện trực giác.

Trực giác Toán học cần phải được rèn luyện thường xuyên, bạn nên dành thời gian mỗi ngày để giải một bài toán nhỏ hoặc suy nghĩ về một khái niệm mới. Trực giác Toán học không phát triển ngay lập tức, nó đòi hỏi thời gian và sự kiên trì. Hãy coi mỗi bài toán là một cơ hội để học hỏi, ngay cả khi bạn chưa tìm ra lời giải.

Convex function

Để tiện theo dõi, các bạn đọc lại bài sau

Convex set

Cho $C$ là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng không nhất thiết bị chặn.

Một hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ được gọi là lồi trên $C$ nếu $f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$ với mọi $x,y\in C$ và mọi $\lambda\in [0;1].$

Như vậy $f$ là lồi nếu mọi đoạn có các đầu mút thuộc đồ thị đều không nằm dưới đồ thị.

Một hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ được gọi là lồi nghiêm ngặt trên $C$ nếu $f((1-\lambda)x+\lambda y)< (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$ với mọi $x,y\in C$ và mọi $\lambda\in [0;1]$ thỏa mãn $x\not=y$ và $0<\lambda<1.$

Hàm số $f$ được gọi là lõm (lõm nghiêm ngặt) nếu hàm $-f$ lồi (lồi nghiêm ngặt).

Hàm lồi nghiêm ngặt là hàm lồi, ngược lại nói chung không đúng. Các hàm số $y=ax+b,y=\mid x\mid$ và $y=x^2$ đều lồi trên $\mathbb{R}.$ Hàm cuối cùng là hàm lồi nghiêm ngặt trên $\mathbb{R}.$

Định lí 1. Cho hàm số $f:[a;b]\to\mathbb{R}$ liên tục trên $[a;b]$ và lồi trên $(a;b).$ Khi đó $f$ lồi trên $[a;b].$

Định lí 2. Hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ lồi trên $C$ nếu và chỉ nếu tập hợp $\text{epi}\, f=\{(x;y)\in C\times \mathbb{R}\mid f(x)\leq y\}$ là tập hợp lồi. Tập hợp này được gọi là bia của $f.$

Nếu một hàm số lồi trên một khoảng thì nó liên tục trên khoảng đó. Để chứng minh kết quả này ta cần bổ đề sau.

Bổ đề. Cho hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ lồi trên $C.$ Khi đó $\displaystyle\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y}$ với mọi $x,y,z\in C$ thỏa mãn $x<y<z.$

Định lí 3. Nếu $f:(a;b)\to\mathbb{R}$ lồi trên $(a;b)$ thì $f$ liên tục trên $(a;b).$

Nếu thay miền xác định của $f$ bởi đoạn thì khẳng định không còn đúng. Chẳng hạn hàm số $f:[0;1]\to\mathbb{R}$ xác định bởi $f(x)=\begin{cases}1,\quad x=0\\ 0,\quad 0<x\leq 1\end{cases}$ là hàm số lồi trên $[0;1]$ nhưng không liên tục trên $[0;1].$

Sau đây là tiêu chuẩn lồi với các hàm có đạo hàm cấp hai.

Continue reading →

Convex set

Trong bài này, $\mathbb{R}^1,$ $\mathbb{R}^2$ và $\mathbb{R}^3$ lần lượt là tập các điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng và không gian.

Cho số nguyên dương $d\leq 3.$ Một tập hợp $C\subset \mathbb{R}^d$ được gọi là tập hợp lồi nếu với mỗi hai điểm $A$ và $B$ thuộc $C,$ cả đoạn thẳng $AB$ cũng nằm trong $C.$

Dễ thấy giao của một họ bất kỳ các tập hợp lồi là một tập hợp lồi. Vì thế ta có thể định nghĩa bao lồi của một tập hợp $X\subset \mathbb{R}^d$ là giao của tất cả các tập hợp lồi trong $\mathbb{R}^d$ chứa $X.$ Như vậy bao lồi của một tập hợp là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa nó.

Nếu $A$ và $B$ là hai điểm khác nhau thì bao lồi của tập hợp $\{A,B\}$ là đoạn thẳng $AB.$ Nếu $A,B$ và $C$ là ba điểm không thẳng hàng thì bao lồi của tập $\{A,B,C\}$ là tam giác $ABC$ (phần trong và biên).

Dùng tổ hợp lồi ta có một mô tả khác của bao lồi.

Định lí 1. Cho $X$ là một tập hợp con khác rỗng của $\mathbb{R}^2.$ Khi đó điểm $x$ thuộc bao lồi của $X$ khi và chỉ khi tồn tại các điểm $x_1,x_2,\ldots,x_n\in X$ và các số thực không âm $t_1,t_2,\ldots,t_n$ thỏa mãn $\sum t_i=1$ và $x=\sum t_ix_i.$

Biểu diễn $\sum t_ix_i$ như trong định lí trên được gọi là tổ hợp lồi của các điểm $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_n.$

Với tập hợp hữu hạn trong mặt phẳng ta có kết quả sau, kết quả này được dùng nhiều trong các bài toán thi chọn học sinh giỏi.

Định lí 2. Cho số nguyên $n>2$ và $n$ điểm $A_1,A_2,\ldots,A_n$ trong $\mathbb{R}^2.$ Khi đó bao lồi của tập $\{A_i\}$ là đa giác lồi có tập đỉnh là tập con của tập $\{A_i\}.$

Trong định lí trên một đoạn thẳng được xem là một đa giác lồi với hai đỉnh là các đầu mút.

Định lí Helly là một kết quả cơ bản trong hình học tổ hợp về giao của các tập hợp lồi. Nó được Eduard Helly phát hiện vào năm 1913, nhưng mãi đến năm 1923 ông mới công bố, lúc đó các chứng minh của Radon (1921) và Konig (1922) đã xuất hiện.

Định lí 3 (Helly). Cho số nguyên $n>3$ và $n$ tập hợp lồi $X_1,X_2,\ldots,X_n$ trong $\mathbb{R}^2.$ Khi đó nếu mỗi ba tập trong chúng có giao khác rỗng thì cả $n$ tập có giao khác rỗng.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo $n.$ Đầu tiên ta xét $n=4.$ Giả sử bốn tập hợp lồi $X_1,$ $X_2,$ $X_3$ và $X_4$ trong $\mathbb{R}^2$ có tính chất: mỗi ba tập trong chúng có giao khác rỗng. Lấy bốn điểm $A_1,$ $A_2,$ $A_3$ và $A_4$ sao cho $A_i$ thuộc $\displaystyle \bigcap_{j\not=i}A_j$ với mỗi $i.$

Nếu bốn điểm $A_1,$ $A_2,$ $A_3$ và $A_4$ thẳng hàng theo thứ tự đó thì $A_2$ thuộc cả bốn tập lồi. Nếu bao lồi của $\{A_i\}$ là một tam giác thì điểm còn lại không phải là đỉnh của bao lồi sẽ thuộc cả bốn tập lồi. Nếu bao lồi của $\{A_i\}$ là một tứ giác thì giao điểm của hai đường chéo tứ giác sẽ thuộc cả bốn tập lồi.

Vậy khẳng định đúng với $n=4.$ Bây giờ ta giả sử khẳng định đúng với $n\, (n\geq 4),$ và đi chứng minh nó đúng với $n+1.$ Xét $n+1$ tập hợp lồi $X_1,X_2,\ldots,X_{n+1}$ trong $\mathbb{R}^2$ có tính chất: mỗi ba tập trong chúng có giao khác rỗng. Dùng giả thiết quy nạp cho $n$ tập hợp lồi $X_1\cap X_{n+1},X_2\cap X_{n+1},\ldots,X_n\cap X_{n+1}$ ta có điều cần chứng minh. $\Box$

Một cách tổng quát ta có kết quả sau, chứng minh được thực hiện tương tự như trên.

Cho số nguyên $n>d+1$ và $n$ tập hợp lồi $X_1,X_2,\ldots,X_n$ trong $\mathbb{R}^d.$ Khi đó nếu mỗi $d+1$ tập trong chúng có giao khác rỗng thì cả $n$ tập có giao khác rỗng.