IMO – Page 7 – T's Lab

Kì thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 62 (IMO 2021) diễn ra từ 14/7 đến 24/7. Do dịch Covid nên kì thi được tổ chức online, nước chủ nhà là Nga.

I) Danh sách đội tuyển Việt Nam

Trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, Phó trưởng đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình.

Dưới đây là danh sách 6 học sinh:

1) Phan Hữu An, THPT Chuyên KHTN

2) Trương Tuấn Nghĩa, THPT Chuyên KHTN

3) Đỗ Bách Khoa, THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam

4) Đinh Vũ Tùng Lâm, THPT Chuyên KHTN

5) Phan Huỳnh Tuấn Kiệt, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TpHCM

6) Vũ Ngọc Bình, THPT Chuyên Vĩnh Phúc

II) Đề thi – Đáp án

Download đề thi IMO 2021

Download đáp án IMO 2021

Đề thi năm nay rất khó, đặc biệt là bài 2 và bài 3. Bài 2 quá khó đối với một bài 2 thông thường ở IMO.

III) Kết quả

Ban tổ chức IMO 2021 quyết định trao 52 HCV cho các thí sinh có điểm $\geq 24,$ trao 103 HCB cho các thí sinh có điểm $\geq 19,$ và 148 HCĐ cho các thí sinh có điểm $\geq 12.$

Đội ta được 1 HCV, 2 HCB và 3 HCĐ. Chúc mừng đội tuyển Việt Nam!

HCV duy nhất lần này thuộc về em Đỗ Bách Khoa, học sinh lớp 12 Toán 1 trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam. Với điểm 35/42, Khoa lọt vào top 12 thí sinh có điểm cao nhất của IMO 2021.

Vậy là Ams có HCV IMO đầu tiên trong lịch sử! Trong lịch sử hơn 60 năm của IMO, Khoa cũng là học sinh đầu tiên của đội tuyển Hà Nội được HCV.

Chỉ có đúng một thí sinh đạt 42/42 ở IMO 2021, đó là một học sinh đến từ Trung Quốc.

Nhìn hai cột P2 và P3 mới thấy Khoa hay thế nào.

Tính tổng điểm thì lần này đội ta đứng thứ 14.

Đội Trung Quốc xếp thứ nhất với 208 điểm

IMO 2022 sẽ được tổ chức ở Nauy.

Đại số

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số $f:(0,\infty)\mapsto(0,\infty)$ (tức là $f$ là một hàm từ tập các số thực dương) thỏa mãn

$\displaystyle\frac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})}=\frac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}}$

với mọi số thực dương $w, x, y, z$ thỏa mãn $wx=yz$ .

Bài 2. (a) Chứng minh rằng $\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-1)^{2}}\ge1$ với mọi số thực $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .
(b) Chứng minh rằng đẳng thức trên xảy ra với vô số bộ ba số hữu tỉ $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .

Bài 3. Cho $S\subseteq\mathbb{R}$ là một tập hợp các số thực. Ta nói rằng một cặp hàm số $(f, g)$ từ $S$ vào $S$ là một “Cặp đôi Tây Ban Nha” (Spanish Couple) trên $S$ , nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Cả hai hàm số đều tăng ngặt, tức là $f(x)<f(y)$ và $g(x)<g(y)$ với mọi $x, y\in S$ mà $x<y$ ;
(ii) Bất đẳng thức $f(g(g(x)))<g(f(x))$ đúng với mọi $x\in S$ .
Hãy xác định xem có tồn tại một Cặp đôi Tây Ban Nha trên tập $S=\mathbb{N}$ các số nguyên dương hay không; và trên tập $S={a-\frac{1}{b}:a,b\in\mathbb{N}}$ .

Bài 4. Với một số nguyên $m$ , gọi $t(m)$ là số duy nhất thuộc ${1,2,3}$ sao cho $m+t(m)$ là bội của 3. Một hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(-1)=0$ , $f(0)=1$ , $f(1)=-1$ và $f(2^{n}+m)=f(2^{n}-t(m))-f(m)$ với mọi số nguyên $m, n\ge0$ sao cho $2^{n}>m$ . Chứng minh rằng $f(3p)\ge0$ đúng với mọi số nguyên $p\ge0$ .

Bài 5. Cho $a, b, c, d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1$ và $a+b+c+d>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ . Chứng minh rằng $a+b+c+d<\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}$ .

Bài 6. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $f(x+\frac{1}{f(y)})=f(y+\frac{1}{f(x)})$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ . Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương không phải là giá trị của $f$ .

Bài 7. Chứng minh rằng với bốn số thực dương $a, b, c, d$ bất kỳ, bất đẳng thức

$\displaystyle\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b}\ge0$

luôn đúng. Xác định tất cả các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.

Tổ hợp

Bài 1. Trong mặt phẳng, ta xét các hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài dương. Mỗi hình chữ nhật như vậy được gọi là một hộp. Hai hộp giao nhau nếu chúng có một điểm chung ở phần trong hoặc trên biên. Tìm số $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ hộp $B_{1}$ ,…, $B_{n}$ thỏa mãn $B_{i}$ và $B_{j}$ giao nhau khi và chỉ khi $i\not\equiv j\pm1 \pmod n$ .

Bài 2. Cho $n\in\mathbb{N}$ và $A_{n}$ là tập hợp tất cả các hoán vị $(a_{1},...,a_{n})$ của tập ${1,2,...,n}$ sao cho $k\mid 2(a_{1}+\cdot\cdot\cdot+a_{k})$ với mọi $1\le k\le n$ . Tìm số phần tử của tập $A_{n}$ .

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ, xét tập $S$ gồm tất cả các điểm có tọa độ nguyên. Với một số nguyên dương $k$ , hai điểm phân biệt $A, B\in S$ được gọi là $k$ -bạn bè nếu tồn tại một điểm $C\in S$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $k$ . Một tập $T\subset S$ được gọi là $k$ -clique nếu cứ hai điểm bất kỳ trong $T$ đều là $k$ -bạn bè. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại một $k$ -clique có nhiều hơn 200 phần tử.

Bài 4. Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k\ge n$ và $k-n$ là một số chẵn. Có $2n$ bóng đèn được đánh số từ 1 đến $2n$ , mỗi bóng có thể ở trạng thái bật hoặc tắt. Ban đầu tất cả các bóng đèn đều tắt. Ta xét các dãy bước thực hiện: tại mỗi bước, một trong các bóng đèn được chuyển trạng thái (từ bật sang tắt hoặc từ tắt sang bật). Gọi $N$ là số lượng các dãy như vậy gồm $k$ bước và dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, còn các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt. Gọi $M$ là số lượng các dãy gồm $k$ bước dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt, nhưng không có bóng đèn nào từ $n+1$ đến $2n$ từng được bật lên. Xác định tỉ số $\frac{N}{M}$ .

Bài 5. Cho $S={x_{1},x_{2},...,x_{k+l}}$ là một tập hợp gồm $k+l$ số thực nằm trong đoạn $[0, 1]$ ; $k$ và $l$ là các số nguyên dương. Một tập con $A\subset S$ gồm $k$ phần tử được gọi là “đẹp” nếu

$\displaystyle \left|\frac{1}{k}\sum_{x_{i}\in A}x_{i}-\frac{1}{l}\sum_{x_{j}\in S\backslash A}x_{j}\right|\le\frac{k+l}{2kl}.$

Chứng minh rằng số lượng các tập con đẹp ít nhất là $\frac{2}{k+l}\binom{k+l}{k}$ .

Bài 6. Với $n\ge2$ , cho $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ là $2^{n}$ tập con của $A={1,2,3,...,2^{n+1}}$ thỏa mãn tính chất sau. Không tồn tại các chỉ số $a$ và $b$ với $a<b$ và các phần tử $x,y,z\in A$ với $x<y<z$ sao cho $y,z\in S_{a}$ và $x,z\in S_{b}$ . Chứng minh rằng ít nhất một trong các tập $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ chứa không quá $4n$ phần tử.