IMO Shortlist 2023: Number theory

Hình học : https://nttuan.org/2024/11/02/isl2023-geometry/

Đại số: https://nttuan.org/2025/01/23/isl2023-algebra/

——

N1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106752p28097575

Tìm tất cả các hợp số $n$ có tính chất: nếu $d_1, d_2, \ldots, d_k$ là tất cả ước dương của $n$ với $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ , thì $d_i$ chia hết $d_{i+1}+d_{i+2}$ với mọi $i$ thỏa mãn $1 \leqslant i \leqslant k-2$ . (IMO2023/1)

N2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359734p31218394

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,p)$ sao cho $p$ là một số nguyên tố và $p^a+a^4$ là một số chính phương.

N3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359721p31218370

Với các số nguyên dương $n$ và $k \geq 2$ , gọi $E_k(n)$ là số tự nhiên $r$ lớn nhất sao cho $k^r$ chia hết $n!$ . Chứng minh rằng có vô hạn $n$ để $E_{10}(n) > E_9(n)$ và vô hạn $m$ để $E_{10}(m) < E_9(m)$ .

N4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359730p31218384

Cho $a_1, \dots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ là $2n$ số nguyên dương sao cho $n+1$ tích

$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots, b_n$

tạo thành một cấp số cộng tăng theo thứ tự đó. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có thể là công sai của một cấp số cộng như vậy.

N5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359746p31218469

Cho $a_1<a_2<a_3<\dots$ là các số nguyên dương sao cho $a_{k+1}\mid 2(a_1+a_2+\dots+a_k)$ với mọi $k\geqslant 1$ . Giả sử rằng với vô hạn số nguyên tố $p$ , tồn tại $k$ để $p$ chia hết $a_k$ . Chwungs minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ , tồn tại $k$ để $n$ chia hết $a_k$ .

N6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359725p31218376

Một dãy các số nguyên $a_0, a_1,\ldots$ được gọi là tốt nếu $a_0 =0$ , $a_1=1,$ và

$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$

với mọi số nguyên $n \geq 0$ . Một số nguyên được gọi là tốt nếu nó thuộc một dãy tốt. Giả sử hai số $m$ và $m+1$ đều tốt, chứng minh rằng $m$ chia hết cho $3,$ và $m/3$ cũng là số tốt.

N7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359727p31218380

Xét các số nguyên dương $a$ , $b$ , $latex $c$, và $d$ thỏa mãn

$\displaystyle \frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}.$

Tính tổng $a+b+c+d$ .

N8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359735p31218397

Tìm tất cả các hàm số $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ sao cho

$f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b),$

với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ . Trong đó $f^k$ là lũy thừa bậc $k$ của $f$ theo phép toán hợp thành.

Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO)

Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) là cuộc thi toán học danh giá nhất dành cho học sinh trung học trên toàn thế giới. IMO được tổ chức lần đầu tiên vào năm 1959 tại Romania, với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu: Romania, Hungary, Bulgaria, Ba Lan, Tiệp Khắc, Đông Đức và Liên Xô. Ý tưởng tổ chức IMO xuất phát từ mong muốn thúc đẩy sự phát triển của toán học, khuyến khích học sinh tài năng và tạo cơ hội giao lưu học thuật quốc tế. Từ quy mô nhỏ ban đầu, IMO đã phát triển mạnh mẽ, hiện thu hút hơn 100 quốc gia tham gia mỗi năm. Việt Nam bắt đầu tham dự IMO từ năm 1974 và đã đạt được nhiều thành tựu đáng tự hào, với nhiều huy chương vàng, bạc, đồng.

IMO nhằm mục đích phát hiện và nuôi dưỡng tài năng toán học trẻ, khuyến khích tư duy sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề phức tạp và thúc đẩy hợp tác quốc tế trong lĩnh vực giáo dục toán học. Đề thi IMO yêu cầu thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức toán học mà còn phải có khả năng tư duy logic, sáng tạo và áp dụng linh hoạt các phương pháp giải bài toán ở trình độ cao. Các bài toán thường không yêu cầu kiến thức vượt quá chương trình trung học, nhưng đòi hỏi sự sâu sắc trong tư duy và khả năng tìm ra các cách tiếp cận độc đáo.

IMO diễn ra trong hai ngày thi, mỗi ngày thí sinh giải 3 bài toán trong 4,5 giờ (tổng cộng 6 bài toán). Đề thi bao gồm các bài toán thuộc bốn phân môn chính của toán học trung học:

– Đại số: Các bài toán về phương trình hàm, bất đẳng thức, đa thức, hoặc dãy số.

– Hình học: Các bài toán về hình học phẳng, thường yêu cầu sử dụng các phương pháp hình học tổng hợp.

– Số học: Các bài toán liên quan đến lý thuyết số cơ sơ cấp, tính chất chia hết, số nguyên tố, hoặc ngôn ngữ đồng dư.

– Tổ hợp: Các bài toán về đếm, xác suất, lý thuyết đồ thị, hoặc các bài toán liên quan đến sắp xếp tổ hợp.

Mỗi bài toán được chấm tối đa 7 điểm, tổng điểm tối đa là 42 điểm. Đề thi được thiết kế để phân loại rõ ràng trình độ của thí sinh, với các bài toán có độ khó tăng dần.

Quy trình ra đề thi IMO được thực hiện rất nghiêm ngặt để đảm bảo tính công bằng và chất lượng. Mỗi quốc gia tham gia IMO được mời gửi các bài toán đề xuất đến Ban tổ chức. Các bài toán này được một ủy ban quốc tế (IMO Problem Selection Committee) xem xét và lựa chọn. Ủy ban này, bao gồm các chuyên gia toán học từ nhiều quốc gia, sẽ đánh giá tính sáng tạo, độ khó, và tính phù hợp của bài toán. Sau đó, các bài toán được chọn sẽ được dịch ra nhiều ngôn ngữ và kiểm tra kỹ lưỡng để tránh sai sót. Các bài toán được giữ bí mật tuyệt đối cho đến ngày thi. Mỗi năm, đề thi được thiết kế để cân bằng giữa các phân môn và đảm bảo có ít nhất một bài toán “dễ” (để hầu hết thí sinh có thể giải), một bài toán “trung bình” và một bài toán “khó” (thách thức các thí sinh xuất sắc nhất).

Quy trình chấm thi IMO được thực hiện công bằng và minh bạch. Sau khi hoàn thành bài thi, các bài làm của thí sinh được trưởng đoàn của quốc gia đó chấm sơ bộ. Sau đó, bài thi được chuyển đến một ban chấm thi quốc tế, nơi các giám khảo sẽ thảo luận và thống nhất điểm số. Nếu có tranh cãi về cách chấm, trưởng đoàn có thể giải thích hoặc bảo vệ cách giải của thí sinh trước ban chấm thi. Mỗi bài toán được chấm theo thang điểm 0-7 dựa trên mức độ hoàn chỉnh và chính xác của lời giải. Tổng điểm của thí sinh quyết định thứ hạng và các giải thưởng (huy chương vàng, bạc, đồng hoặc bằng khen).

Continue reading →

IMO Shortlist 2023: Algebra

Phần Hình học các bạn xem ở đây https://nttuan.org/2024/11/02/isl2023-geometry/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359728p31218381

Giáo sư Oak đang cho $100$ Pokemon của mình ăn. Mỗi Pokemon có một chiếc bát có sức chứa là số thực dương kilogam. Những sức chứa này đã được Giáo sư biết đến. Tổng sức chứa của tất cả các bát là $100$ kg. Giáo sư Oak phân phát $100$ kg thức ăn theo cách mà mỗi Pokemon nhận được số nguyên không âm kg thức ăn (có thể lớn hơn dung tích của bát). Mức độ không hài lòng của Pokemon nhận được $N$ kg thức ăn và bát của nó có sức chứa $C$ kg là $\lvert N-C\rvert$ . Tìm số thực nhỏ nhất $D$ sao cho bất kể dung tích của các bát như thế nào, Giáo sư Oak có thể phân phát thức ăn sao cho tổng các mức độ không hài lòng của tất cả các Pokemon nhiều nhất là $D$ .

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359723p31218373

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)f(x-y)\geqslant f(x)^2-f(y)^2$ với mọi số thực $x$ và $y$ . Giả sử có bất đẳng thức thực sự với hai số thực $x_0$ và $y_0$ nào đó. Chứng minh rằng $f(x)\geqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ hoặc $f(x)\leqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107339p28104298

Cho $2023$ số thực dương $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ đôi một khác nhau thỏa mãn $a_n=\sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}$ là số nguyên với mọi $n=1,2,\ldots,2023$ . Chứng minh rằng $a_{2023}\geq 3034$ . (IMO2023/4)

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359742p31218446

Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ sao cho

$x \cdot \left(f(x) + f(y)\right) \geq \left(f(f(x)) + y\right) \cdot f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359722p31218372

Cho các số nguyên dương $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ thỏa mãn

(1) $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ là một hoán vị của $1$ , $2$ , $\dots$ , $2023$ , và

(2) $|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{2022}-a_{2023}|$ là một hoán vị của $1$ , $2$ , $\dots$ , $2022$ .

Chứng minh rằng $\max(a_1,a_{2023})\ge 507$ .

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106754p28097579

Với số nguyên $k>1,$ tìm tất cả các dãy vô hạn số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ sao cho tồn tại đa thức $P$ với hệ số nguyên không âm có dạng $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ để $P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$ với mọi số nguyên dương $n.$ (IMO2023/3)

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359726p31218377

Cho số nguyên dương $N$ . Chứng minh rằng có ba hoán vị $a_1$ , $\dots$ , $a_N$ , $b_1$ , $\dots$ , $b_N$ , và $c_1$ , $\dots$ , $c_N$ của $1$ , $\dots$ , $N$ sao cho $\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{N}\right|<2023$ với mọi $k=1,2,\dots,N$ .

IMO Shortlist 2023: Geometry

G1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359760p31218557

Cho $ABCDE$ là một ngũ giác lồi thỏa mãn $\angle ABC = \angle AED = 90^\circ.$ Giả sử trung điểm của $CD$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$ . Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ . Chứng minh rằng đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BE$ .

G2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359729p31218382

Cho tam giác $ABC$ với $AC > BC$ . Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ , và $r$ là bán kính của nó. Điểm $P$ được chọn trên ${AC}$ sao cho $BC=CP,$ và điểm $S$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống ${AB}$ . Tia $BP$ cắt lại $\omega$ tại $D$ . Điểm $Q$ được chọn trên đường thẳng $SP$ sao cho $PQ = r$ và $S$ , $P$ , $Q$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Cuối cùng, gọi $E$ là một điểm thỏa mãn ${AE} \perp {CQ}$ và ${BE} \perp {DQ}$ . Chứng minh rằng $E$ nằm trên $\omega$ .

G3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359737p31218405

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ với $\angle BAD < \angle ADC$ . Gọi $M$ là trung điểm của cung $CD$ không chứa $A$ . Giả sử có một điểm $P$ nằm trong $ABCD$ sao cho $\angle ADB = \angle CPD$ và $\angle ADP = \angle PCB$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $AD$ , $PM$ , và $BC$ đồng quy.

G4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106748p28097552

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB<AC$ . Gọi $S$ là điểm chính giữa của cung $BC$ chứa $A$ của $(ABC)$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ cắt $BS$ tại $D$ và cắt lại $(ABC)$ tại $E$ . Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $BE$ tại $L$ . $(BDL)$ cắt lại $(ABC)$ tại $P$ . Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(BDL)$ tại $P$ cắt $BS$ trên phân giác của góc $BAC$ . (IMO2023/2)

G5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359731p31218385

Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ có tâm là $O$ . Các điểm $D\neq B$ và $E\neq C$ nằm trên $\omega$ sao cho $BD\perp AC$ và $CE\perp AB$ . Giả sử $CO$ cắt $AB$ tại $X$ , và $BO$ cắt $AC$ tại $Y$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BXD$ và $CYE$ cùng đi qua một điểm thuộc đường thẳng $AO$ .

G6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359733p31218391

Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ . Một đường tròn $\Gamma$ tiếp xúc trong với $\omega$ tại $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $D$ . Các đường thẳng $AB$ và $AC$ cắt $\Gamma$ lần lượt tại $P$ và $Q$ . Gọi $M$ và $N$ là các điểm nằm trên $BC$ sao cho $B$ là trung điểm của $DM$ và $C$ là trung điểm của $DN$ . Các đường thẳng $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại $K$ , và cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $I$ và $J$ . Tia $KA$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IJK$ tại $X\neq K$ . Chứng minh rằng $\angle BXP = \angle CXQ$ .

G7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359736p31218400

Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$ . Gọi $\ell_a$ là đường thẳng đi qua điểm đối xứng với $B$ qua $CH$ và điểm đối xứng với $C$ qua $BH$ . Các đường thẳng $\ell_b$ và $\ell_c$ được xác định tương tự. Giả sử ba đường thẳng $\ell_a$ , $\ell_b$ , và $\ell_c$ xác định một tam giác $\mathcal T$ . Chứng minh rằng trực tâm của $\mathcal T$ , tâm đường tròn ngoại tiếp của $\mathcal T$ , và $H$ thẳng hàng.

G8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107345p28104331

Cho $ABC$ là một tam giác đều. Gọi $A_1,B_1,C_1$ là các điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , và

$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ.$

Giả sử $BC_1$ và $CB_1$ cắt nhau tại $A_2,$ $CA_1$ và $AC_1$ cắt nhau tại $B_2$ , $AB_1$ và $BA_1$ cắt nhau tại $C_2.$ Chứng minh rằng nếu tam giác $A_1B_1C_1$ là tam giác không cân thì ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1A_2, BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ đi qua hai điểm chung. (IMO2023/6)