Farey sequence and approximation of irrational numbers I

Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các dãy Farey. Phần đầu là kiến thức cơ bản về dãy Farey, ở phần thứ hai chúng ta sẽ dùng dãy Farey để chứng minh lại một số định lý xấp xỉ (xem [1]).

Cho số nguyên dương $\displaystyle n$ . Phân số tối giản $\displaystyle \frac{p}{q}\in [0;1]$ được gọi là phân số Farey bậc $\displaystyle n$ nếu $\displaystyle 0<q\leq n$ . Dãy tăng tất cả các phân số Farey bậc $\displaystyle n$ được gọi là dãy Farey bậc $\displaystyle n$ , ký hiệu là $\displaystyle F_n$ .

Bốn dãy Farey đầu tiên là:

$\displaystyle \displaystyle F_1:\,\frac{0}{1};\frac{1}{1}$ .

$\displaystyle \displaystyle F_2:\,\frac{0}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{1}$ .

$\displaystyle \displaystyle F_3:\,\frac{0}{1};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{1}{1}.$

$\displaystyle \displaystyle F_4:\,\frac{0}{1};\frac{1}{4};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{1}{1}.$

Rõ ràng là với mỗi số nguyên dương $\displaystyle n$ , dãy $\displaystyle F_n$ có đúng $\displaystyle 1+\sum_{k=1}^n\varphi (k)$ số hạng.

Định lý 1. Cho các số tự nhiên $\displaystyle a,b,c$ và $\displaystyle d$ thỏa mãn $\displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\leq 1$ và $\displaystyle bc-ad=1$ . Khi đó $\displaystyle \frac{a}{b}$ và $\displaystyle \frac{c}{d}$ là hai số hạng liên tiếp của dãy $\displaystyle F_n$ . Ở đây $\displaystyle n$ là một số nguyên dương thỏa mãn $\displaystyle \max\{b,d\}\leq n\leq b+d-1$ .

Chứng minh. Từ $\displaystyle bc-ad=1$ ta có $\displaystyle \displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d}$ là hai phân số tối giản, mà $\displaystyle \max\{b,d\}\leq n$ , suy ra chúng là các số hạng của dãy $\displaystyle F_n$ . Nếu chúng không phải là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ thì tồn tại phân số Farey bậc $\displaystyle n$ , ký hiệu là $\displaystyle \frac{h}{k}$ , thỏa mãn $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}.$ Vì $\displaystyle ck-dh\geq 1$ và $\displaystyle bh-ak\geq 1$ nên

$\displaystyle b+d-1\geq n\geq k=(bc-ad)k=b(ck-dh)+d(bh-ak)\geq b+d,$

đây là điều không thể xảy ra. $\Box$

Với các số tự nhiên $\displaystyle a,b,c$ và $\displaystyle d$ thỏa mãn $\displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d},$ phân số $\displaystyle \dfrac{a+c}{b+d}$ được gọi là phân số trung gian của hai phân số $\displaystyle \frac{a}{b}$ và $\displaystyle \frac{c}{d}$ . Từ chứng minh trên ta có:

Định lý 2. Cho các số tự nhiên $\displaystyle a,b,c$ và $\displaystyle d$ thỏa mãn $\displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\leq 1$ và $\displaystyle bc-ad=1$ . Khi đó nếu $\displaystyle \dfrac{h}{k}$ là phân số trung gian của hai phân số $\displaystyle \frac{a}{b}$ , $\displaystyle \frac{c}{d}$ thì $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}$ và $\displaystyle bh-ak=1,\quad ck-dh=1.$

Từ kết quả này ta thấy trong định lý 1, nếu $\displaystyle n>b+d-1$ thì $\displaystyle a/b$ và $\displaystyle c/d$ không phải là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ . Định lý sau cho một cách xác định các dãy Farey bằng quy nạp.

Định lý 3. Với mọi số nguyên dương $n,$ ta có

(1) Dãy $\displaystyle F_{n+1}$ có được từ dãy $\displaystyle F_n$ bằng cách viết vào giữa hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ có tổng các mẫu không vượt quá $\displaystyle n+1$ phân số trung gian của chúng.

(2) Nếu $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ thì $\displaystyle bc-ad=1$ .

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $\displaystyle n$ . Rõ ràng khẳng định đúng với $\displaystyle n=1$ . Giả sử khẳng định đúng với các số nguyên dương bé hơn $\displaystyle n\, (n\geq 2)$ , ta sẽ chứng minh khẳng định đúng với $\displaystyle n$ . Từ các kết quả trước và giả thiết quy nạp ta có nếu $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ thì $\displaystyle bc-ad=1$ . Sau khi viết vào giữa hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ có tổng các mẫu không vượt quá $\displaystyle n+1$ phân số trung gian của chúng ta thu được dãy con $\displaystyle F^{\prime}_n$ của $\displaystyle F_{n+1}$ . Nếu trong $\displaystyle F_{n+1}$ có phân số $\displaystyle \dfrac{h}{k}$ không thuộc $\displaystyle F'_n$ thì tồn tại hai số hạng liên tiếp $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ của $\displaystyle F'_n$ sao cho $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}$ . Vì $\displaystyle \frac{h}{k}$ không thuộc $\displaystyle F^{\prime}_n$ nên nó cũng không thuộc $\displaystyle F_n$ , suy ra $\displaystyle k>n$ , kết hợp với $\displaystyle k\leq n+1$ ta có $\displaystyle k=n+1$ . Từ chứng minh của các kết quả trên suy ra $\displaystyle k=n+1\geq b+d$ , do đó $\displaystyle \frac{a}{b}$ và $\displaystyle \frac{c}{d}$ là hai phân số liên tiếp của $\displaystyle F_n$ . Mà $\displaystyle b+d\leq n+1$ , suy ra chúng không thể là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F^{\prime}_n$ , vô lý. $\Box$

Dãy số Farey được đặt theo tên của nhà địa chất người Anh John Farey, lá thư của ông về những dãy này đã được đăng vào năm 1816. Farey phỏng đoán, mà không đưa ra chứng minh, rằng mỗi số hạng trong một dãy Farey là trung gian của các số liên tiếp trong dãy Farey ngay trước nó. Bức thư của Farey đã được đọc bởi Cauchy, người đã đưa ra chứng minh trong một cuốn sách của mình và cho rằng kết quả này là của Farey. Trên thực tế, một nhà toán học khác, Charles Haros, đã công bố những kết quả tương tự vào năm 1802 mà cả Farey và Cauchy đều không biết. Vì vậy, đó là một sự tình cờ lịch sử đã liên kết tên tuổi của Farey với những dãy này. Một lần nữa, trước đó là Pell, người có tên được đặt cho một mối quan hệ toán học không phải là người đầu tiên tìm ra nó.

Đọc thêm

[1] https://nttuan.org/2007/12/15/pell-equation/

Convex function

Để tiện theo dõi, các bạn đọc lại bài sau

Convex set

Cho $C$ là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng không nhất thiết bị chặn.

Một hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ được gọi là lồi trên $C$ nếu $f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$ với mọi $x,y\in C$ và mọi $\lambda\in [0;1].$

Như vậy $f$ là lồi nếu mọi đoạn có các đầu mút thuộc đồ thị đều không nằm dưới đồ thị.

Một hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ được gọi là lồi nghiêm ngặt trên $C$ nếu $f((1-\lambda)x+\lambda y)< (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$ với mọi $x,y\in C$ và mọi $\lambda\in [0;1]$ thỏa mãn $x\not=y$ và $0<\lambda<1.$

Hàm số $f$ được gọi là lõm (lõm nghiêm ngặt) nếu hàm $-f$ lồi (lồi nghiêm ngặt).

Hàm lồi nghiêm ngặt là hàm lồi, ngược lại nói chung không đúng. Các hàm số $y=ax+b,y=\mid x\mid$ và $y=x^2$ đều lồi trên $\mathbb{R}.$ Hàm cuối cùng là hàm lồi nghiêm ngặt trên $\mathbb{R}.$

Định lí 1. Cho hàm số $f:[a;b]\to\mathbb{R}$ liên tục trên $[a;b]$ và lồi trên $(a;b).$ Khi đó $f$ lồi trên $[a;b].$

Định lí 2. Hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ lồi trên $C$ nếu và chỉ nếu tập hợp $\text{epi}\, f=\{(x;y)\in C\times \mathbb{R}\mid f(x)\leq y\}$ là tập hợp lồi. Tập hợp này được gọi là bia của $f.$

Nếu một hàm số lồi trên một khoảng thì nó liên tục trên khoảng đó. Để chứng minh kết quả này ta cần bổ đề sau.

Bổ đề. Cho hàm số $f:C\to\mathbb{R}$ lồi trên $C.$ Khi đó $\displaystyle\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y}$ với mọi $x,y,z\in C$ thỏa mãn $x<y<z.$

Định lí 3. Nếu $f:(a;b)\to\mathbb{R}$ lồi trên $(a;b)$ thì $f$ liên tục trên $(a;b).$

Nếu thay miền xác định của $f$ bởi đoạn thì khẳng định không còn đúng. Chẳng hạn hàm số $f:[0;1]\to\mathbb{R}$ xác định bởi $f(x)=\begin{cases}1,\quad x=0\\ 0,\quad 0<x\leq 1\end{cases}$ là hàm số lồi trên $[0;1]$ nhưng không liên tục trên $[0;1].$

Sau đây là tiêu chuẩn lồi với các hàm có đạo hàm cấp hai.

Continue reading →

Polynomials in one variable: Basic definitions

Trong bài này $K$ là một trong các tập hợp $\mathbb{F}_p$ (tập các số nguyên modulo một số nguyên tố $p$ ), $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R},$ hoặc $\mathbb{C}$ .

Định nghĩa 1. Cho $n$ là một số tự nhiên và $a_0,a_1,...,a_n \in K$ . Mỗi tổng hình thức có dạng

$a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$

được gọi là một đa thức trên $K$ theo biến $x$ với hệ số $a_0,a_1,...,a_n$ . Nếu $k$ là chỉ số lớn nhất sao cho $a_k \neq 0$ , thì ta nói đa thức $f(x)=a_k x^k+\ldots+a_1x+a_0$ có bậc $k$ , viết $\text{deg}(f(x))=k$ , $a_k$ được gọi là hệ số đầu của đa thức $f(x)$ , và $a_0$ được gọi là hệ số tự do của $f(x)$ . Nếu $a_0$ là hệ số đầu của $f(x)$ , thì $f(x)$ được gọi là đa thức hằng.

Nếu hệ số đầu của $f(x)$ là $1$ , thì $f(x)$ được gọi là đa thức monic. Tập tất cả đa thức với hệ số trong $K$ được ký hiệu bởi $K[x]$ .

Theo định nghĩa này thì đa thức không, đa thức mà mọi hệ số là không, không có bậc. Để thuận tiện, ta qui ước nó là đa thức hằng và có bậc bằng $-\infty$ . Một đa thức hằng $f(x)=a_0$ có bậc $0$ nếu $a_0 \neq 0$ . Hai đa thức bằng nhau nếu chúng có cùng bậc và tất cả các hệ số tương ứng bằng nhau. Cần phân biệt giữa đa thức $f(x)$ và hàm đa thức tương ứng từ $K$ đến $K$ xác định bởi thay một phần tử của $K$ vào vị trí của $x$ . Nếu $f(x)=a_m x^m+\ldots+a_1x+a_0$ và $c \in K$ , thì $f(c)=a_m c^m+\ldots+a_1c+a_0$ được gọi là giá trị của $f(x)$ tại $c$ . Nếu $K$ là $\mathbb{F}_p$ thì có thể có hai đa thức khác nhau xác định cùng một hàm đa thức.

Ví dụ 1. Cho $K$ là $\mathbb{F}_3$ và xét các đa thức $x^3$ và $x$ . Với mỗi $c \in \mathbb{F}_3$ , ta có $c^3 \equiv c\pmod{3},$ do đó các hàm đa thức $f(x)=x^3$ và $g(x)=x$ là bằng nhau như các hàm từ $\mathbb{F}_3$ tới $\mathbb{F}_3$ .