IMO Shortlist 2008

Đại số

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số $f:(0,\infty)\mapsto(0,\infty)$ (tức là $f$ là một hàm từ tập các số thực dương) thỏa mãn

$\displaystyle\frac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})}=\frac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}}$

với mọi số thực dương $w, x, y, z$ thỏa mãn $wx=yz$ .

Bài 2. (a) Chứng minh rằng $\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-1)^{2}}\ge1$ với mọi số thực $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .
(b) Chứng minh rằng đẳng thức trên xảy ra với vô số bộ ba số hữu tỉ $x, y, z$ khác 1 và thỏa mãn $xyz=1$ .

Bài 3. Cho $S\subseteq\mathbb{R}$ là một tập hợp các số thực. Ta nói rằng một cặp hàm số $(f, g)$ từ $S$ vào $S$ là một “Cặp đôi Tây Ban Nha” (Spanish Couple) trên $S$ , nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Cả hai hàm số đều tăng ngặt, tức là $f(x)<f(y)$ và $g(x)<g(y)$ với mọi $x, y\in S$ mà $x<y$ ;
(ii) Bất đẳng thức $f(g(g(x)))<g(f(x))$ đúng với mọi $x\in S$ .
Hãy xác định xem có tồn tại một Cặp đôi Tây Ban Nha trên tập $S=\mathbb{N}$ các số nguyên dương hay không; và trên tập $S={a-\frac{1}{b}:a,b\in\mathbb{N}}$ .

Bài 4. Với một số nguyên $m$ , gọi $t(m)$ là số duy nhất thuộc ${1,2,3}$ sao cho $m+t(m)$ là bội của 3. Một hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(-1)=0$ , $f(0)=1$ , $f(1)=-1$ và $f(2^{n}+m)=f(2^{n}-t(m))-f(m)$ với mọi số nguyên $m, n\ge0$ sao cho $2^{n}>m$ . Chứng minh rằng $f(3p)\ge0$ đúng với mọi số nguyên $p\ge0$ .

Bài 5. Cho $a, b, c, d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1$ và $a+b+c+d>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ . Chứng minh rằng $a+b+c+d<\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}$ .

Bài 6. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $f(x+\frac{1}{f(y)})=f(y+\frac{1}{f(x)})$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ . Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương không phải là giá trị của $f$ .

Bài 7. Chứng minh rằng với bốn số thực dương $a, b, c, d$ bất kỳ, bất đẳng thức

$\displaystyle\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b}\ge0$

luôn đúng. Xác định tất cả các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.

Tổ hợp

Bài 1. Trong mặt phẳng, ta xét các hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài dương. Mỗi hình chữ nhật như vậy được gọi là một hộp. Hai hộp giao nhau nếu chúng có một điểm chung ở phần trong hoặc trên biên. Tìm số $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ hộp $B_{1}$ ,…, $B_{n}$ thỏa mãn $B_{i}$ và $B_{j}$ giao nhau khi và chỉ khi $i\not\equiv j\pm1 \pmod n$ .

Bài 2. Cho $n\in\mathbb{N}$ và $A_{n}$ là tập hợp tất cả các hoán vị $(a_{1},...,a_{n})$ của tập ${1,2,...,n}$ sao cho $k\mid 2(a_{1}+\cdot\cdot\cdot+a_{k})$ với mọi $1\le k\le n$ . Tìm số phần tử của tập $A_{n}$ .

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ, xét tập $S$ gồm tất cả các điểm có tọa độ nguyên. Với một số nguyên dương $k$ , hai điểm phân biệt $A, B\in S$ được gọi là $k$ -bạn bè nếu tồn tại một điểm $C\in S$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $k$ . Một tập $T\subset S$ được gọi là $k$ -clique nếu cứ hai điểm bất kỳ trong $T$ đều là $k$ -bạn bè. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại một $k$ -clique có nhiều hơn 200 phần tử.

Bài 4. Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k\ge n$ và $k-n$ là một số chẵn. Có $2n$ bóng đèn được đánh số từ 1 đến $2n$ , mỗi bóng có thể ở trạng thái bật hoặc tắt. Ban đầu tất cả các bóng đèn đều tắt. Ta xét các dãy bước thực hiện: tại mỗi bước, một trong các bóng đèn được chuyển trạng thái (từ bật sang tắt hoặc từ tắt sang bật). Gọi $N$ là số lượng các dãy như vậy gồm $k$ bước và dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, còn các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt. Gọi $M$ là số lượng các dãy gồm $k$ bước dẫn đến trạng thái mà các bóng đèn từ 1 đến $n$ đều bật, các bóng đèn từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt, nhưng không có bóng đèn nào từ $n+1$ đến $2n$ từng được bật lên. Xác định tỉ số $\frac{N}{M}$ .

Bài 5. Cho $S={x_{1},x_{2},...,x_{k+l}}$ là một tập hợp gồm $k+l$ số thực nằm trong đoạn $[0, 1]$ ; $k$ và $l$ là các số nguyên dương. Một tập con $A\subset S$ gồm $k$ phần tử được gọi là “đẹp” nếu

$\displaystyle \left|\frac{1}{k}\sum_{x_{i}\in A}x_{i}-\frac{1}{l}\sum_{x_{j}\in S\backslash A}x_{j}\right|\le\frac{k+l}{2kl}.$

Chứng minh rằng số lượng các tập con đẹp ít nhất là $\frac{2}{k+l}\binom{k+l}{k}$ .

Bài 6. Với $n\ge2$ , cho $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ là $2^{n}$ tập con của $A={1,2,3,...,2^{n+1}}$ thỏa mãn tính chất sau. Không tồn tại các chỉ số $a$ và $b$ với $a<b$ và các phần tử $x,y,z\in A$ với $x<y<z$ sao cho $y,z\in S_{a}$ và $x,z\in S_{b}$ . Chứng minh rằng ít nhất một trong các tập $S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}}$ chứa không quá $4n$ phần tử.

Continue reading →

T-Quiz 1

Gửi các bạn học sinh lớp 8 và lớp 9.

T.quiz001 Download

The sum of the reciprocals of the primes

Với mỗi số nguyên dương $n$ , ký hiệu $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$ trong dãy tăng tất cả các số nguyên tố. Như vậy $p_1=2$ , $p_2=3$ , $p_3=5$ ,…

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của kết quả sau:

Định lý. Chuỗi $\displaystyle \frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\ldots$ là một chuỗi phân kỳ.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, khi đó với mỗi số nguyên dương $k$ , chuỗi $\displaystyle\sum_{m=k}^{+\infty}\frac{1}{p_m}$ là một chuỗi hội tụ, gọi $S_k$ là tổng của nó. Vì $\lim S_k=0$ nên tồn tại số nguyên $k$ sao cho $\displaystyle S_{k+1}<\frac{1}{2}$ . Đặt $Q=p_1p_2\ldots p_k$ và xét các số $1+nQ\, (n=1,2,\ldots)$ . Mỗi số trong dãy này đều không có ước nguyên tố thuộc $\{p_1, p_2, \ldots, p_k\}$ , do đó với mỗi số nguyên dương $r$ , tồn tại số nguyên dương $K$ đủ lớn để

$\displaystyle\sum_{n=1}^r\frac{1}{1+nQ}\leq\sum_{t=1}^{K}S_{k+1}^t<1.$

Điều này không thể xảy ra do chuỗi $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+nQ}$ là một chuỗi phân kỳ. $\Box$

Tham khảo

[1] https://nttuan.org/2018/12/30/series/

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_of_the_sum_of_the_reciprocals_of_the_primes

Functional equations on real line I

Trong mục này, qua các ví dụ và bài tập, chúng tôi sẽ giới thiệu các kỹ thuật cơ bản để giải các phương trình hàm trên tập số thực.

Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho

$f(x)f(y)=xy-f(x+y),\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.$

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, khi đó

$f(x)f(y)=xy-f(x+y),\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.\quad (1)$

Trong (1), cho $x=y=0$ ta có $f(0)^2=-f(0)$ , suy ra $f(0)=0$ hoặc $f(0)=-1$ . Nếu $f(0)=0$ thì trong (1), chọn $y=0$ ta có $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . Kiểm tra ta thấy hàm số này không thỏa mãn. Bây giờ ta xét trường hợp $f(0)=-1$ .

Trong (1), cho $x=1$ và $y=-1$ ta có $f(1)f(-1)=0$ , suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(-1)=0$ .

Trường hợp 1: $f(1)=0$ .

Trong (1), chọn $y=1$ , ta có $f(x+1)=x$ với mọi số thực $x$ , suy ra $f(x)=x-1,\quad\forall x\in\mathbb{R}.$

Trường hợp 2: $f(-1)=0$ .

Trong (1), chọn $y=-1$ , ta có $f(x-1)=-x$ với mọi số thực $x$ , suy ra $f(x)=-x-1,\quad\forall x\in\mathbb{R}.$

Khi $f(x)=x-1$ thì với mỗi số thực $x$ và $y$ , ta có

$xy-f(x+y)=xy-(x+y-1)=(x-1)(y-1)=f(x)f(y),$

suy ra hàm số này thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Khi $f(x)=-x-1$ thì với mỗi số thực $x$ và $y$ , ta có

$xy-f(x+y)=xy+(x+y+1)=(-x-1)(-y-1)=f(x)f(y),$

suy ra hàm số $f(x)=-x-1$ cũng thỏa mãn.

Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là $f(x)=x-1$ và $f(x)=-x-1$ . $\Box$

Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(f(x)+y)=yf(x-f(y)),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.$

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó

$f(f(x)+y)=yf(x-f(y)),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.\quad (1)$

Trong (1), chọn $y=0$ , ta có $f(f(x))=0$ với mọi số thực $x$ . Từ đây, bằng cách thay $x$ bởi $f(y)$ vào (1), ta có $f(y)=f(0)y$ với mọi số thực $y$ . Suy ra $f(0)=0$ và $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . Ngược lại, kiểm tra thấy hàm số $f(x)=0$ thỏa mãn.

Vậy có đúng một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . $\Box$

Ví dụ 3. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn

$\displaystyle f(xy)=\frac{f(x)+f(y)}{x+y}$

với mọi số thực $x$ và $y$ sao cho $x+y\not=0.$

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó

$\displaystyle f(xy)=\frac{f(x)+f(y)}{x+y}$

với mọi số thực $x$ và $y$ sao cho $x+y\not=0. \quad (*)$

Từ $(*)$ , với $x=0$ và $y=1$ ta có $f(1)=0$ . Vẫn từ $(*)$ , chọn $y=1$ ta được

$xf(x)=0,\quad\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$

Nói riêng, $f(2)=0$ . Từ $(*)$ , với $x=2$ và $y=0$ , ta có $f(0)=0$ . Cuối cùng, với $y=0$ , từ $(*)$ ta có $f(x)=0$ với mọi số thực $x\not=0$ . Suy ra $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . Ngược lại, kiểm tra thấy hàm số $f(x)=0$ thỏa mãn.

Vậy có đúng một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . $\Box$

Ví dụ 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn

$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.$

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó

$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.\quad (1)$

Từ (1), với $x=y=1$ ta có $f(1)^2=f(1)$ , suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(1)=1$ . Nếu $f(1)=1$ thì với $y=1$ , từ (1) ta có $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . Kiểm tra ta thấy hàm số này thỏa mãn. Bây giờ ta xét trường hợp $f(1)=1$ .

Trong (1), chọn $y=1$ và để ý $f(1)=1$ , ta có $xf(x)=x$ với mọi số thực $x$ . Suy ra tồn tại số thực $a$ để

$f(x)=\begin{cases}1,\quad x\not=0\\ a,\quad x=0.\end{cases}$

Kiểm tra cẩn thận ta thấy hàm số này cũng thỏa mãn.

Vậy các hàm số phải tìm là $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ , hoặc

$f(x)=\begin{cases}1,\quad x\not=0\\ a,\quad x=0.\end{cases}$

Ở đây $a$ là một số thực. $\Box$

Ví dụ 5. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x+y) = \max(f(x),y) + \min(f(y),x)$

với mọi số thực $x$ và $y$ .

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó

$f(x+y) = \max(f(x),y) + \min(f(y),x)$

với mọi số thực $x$ và $y.\quad (*)$

Từ $(*)$ , lần lượt thay $x=0$ và $y=0$ , ta có

$f(y) = \max(f(0),y) + \min(f(y),0),\quad\forall y\in\mathbb{R},$

và

$f(x) = \max(f(x),0) + \min(f(0),x),\quad\forall x\in\mathbb{R}.$

Suy ra với mỗi số thực $x$ ,

$2f(x)=f(x)+f(x)=(f(0)+x)+(f(x)+0),$

do đó $f(x)=x+f(0),\quad\forall x\in\mathbb{R}$ . Sử dụng điều này, khi thay $x=0$ và $y=f(0)$ , từ $(*)$ ta có $f(0)=\min (2f(0),0)$ . Suy ra $f(0)=0$ , và $f(x)=x$ với mọi số thực $x$ . Ngược lại, kiểm tra thấy hàm số $f(x)=x$ thỏa mãn.