Đề thi chọn đội IMO 2019 của Trung Quốc


Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle ABCDE là ngũ giác nội tiếp đường tròn tâm \displaystyle O và có \displaystyle AB=AE=CD. Gọi \displaystyle I là trung điểm của \displaystyle BC, \displaystyle J là trung điểm của \displaystyle DE, \displaystyle F là trực tâm của tam giác \displaystyle ABE, và \displaystyle G là trọng tâm của tam giác \displaystyle AIJ. \displaystyle CE cắt \displaystyle BD tại \displaystyle H, \displaystyle OG cắt \displaystyle FH tại \displaystyle M. Chứng minh \displaystyle AM\perp CD.
Bài 2. Cho số nguyên \displaystyle n\geq 3. Liệu có vô hạn tập \displaystyle S=\lbrace a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n\rbrace gồm các số nguyên dương sao cho \displaystyle (a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n)=1, \displaystyle \lbrace a_i\rbrace _{i=1}^n\displaystyle \lbrace b_i\rbrace _{i=1}^n là các cấp số cộng, đồng thời \displaystyle \displaystyle\prod_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n b_i?
Bài 3. Tìm tất cả số nguyên dương \displaystyle n sao cho có \displaystyle n điểm \displaystyle P_1,P_2,\ldots,P_n trên đường tròn đơn vị để \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n MP_i^k là hằng số khi $M$ thuộc đường tròn đó với
a) \displaystyle k=2018.
b) \displaystyle k=2019.
Bài kiểm tra số 1 – Ngày thứ hai
Bài 4. Dãy số nguyên dương \displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1} được gọi là tốt nếu với mỗi số nguyên dương \displaystyle m,n khác nhau ta có \displaystyle (m,n) \mid a_m^2 + a_n^2\displaystyle (a_m,a_n) \mid m^2 + n^2. Số nguyên dương \displaystyle a được gọi là \displaystyle k-tốt nếu tồn tại dãy tốt \displaystyle \{a_n\} sao cho \displaystyle a_k = a. Tồn tại hay không số nguyên dương \displaystyle k sao cho có đúng \displaystyle 2019 số nguyên dương \displaystyle k-tốt?
Bài 5. Tìm tất cả các hàm \displaystyle f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} sao cho \displaystyle f(2xy + \frac{1}{2}) + f(x-y) = 4f(x)f(y) + \frac{1}{2},\quad\forall x,y\in\mathbb{Q}.
Bài 6. Cho số thực dương \displaystyle k. Hai người \displaystyle A\displaystyle B chơi một trò chơi như sau: Lúc bắt đầu, có \displaystyle 80 số \displaystyle 0 đặt trên một đường tròn. Ở mỗi lượt chơi, \displaystyle A tăng một vài số trong \displaystyle 80 số sao cho tổng các số mới tăng \displaystyle 1. Sau đó, \displaystyle B chọn \displaystyle 10 số liên tiếp có tổng lớn nhất và giảm tất cả xuống \displaystyle 0. \displaystyle A thắng nếu sau hữu hạn bước \displaystyle A thu được ít nhất một số không bé hơn \displaystyle k. Tìm tất cả \displaystyle k để \displaystyle A có thể thắng.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ nhất
Bài 1. \displaystyle AB\displaystyle AC là các tiếp tuyến của một đường \displaystyle \omega với tâm \displaystyle O tại \displaystyle B,C. Điểm \displaystyle P di động trên cung nhỏ \displaystyle BC của đường tròn. Tiếp tuyến tại \displaystyle P của \displaystyle \omega cắt \displaystyle AB,AC lần lượt tại \displaystyle D,E. \displaystyle AO cắt \displaystyle BP,CP lần lượt tại \displaystyle U,V. Đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AB cắt \displaystyle DV tại \displaystyle M, đường thẳng qua \displaystyle P vuông góc với \displaystyle AC cắt \displaystyle EU tại \displaystyle N. Chứng minh \displaystyle MN đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Gọi \displaystyle S là tập tất cả các bộ \displaystyle 10 số tự nhiên có tổng bằng \displaystyle 2019. Với mỗi phần tử của \displaystyle S, nếu một thành phần của nó không bé hơn \displaystyle 9, thì ta có thể thực hiện phép toán: trừ thành phần đó đi \displaystyle 9 và cộng các thành phần còn lại thêm \displaystyle 1. Với mỗi \displaystyle A,B\in S, ký hiệu \displaystyle A\rightarrow B nếu ta có thể thu được \displaystyle B từ \displaystyle A sau hữu hạn lần thực hiện phép toán.
(1) Tìm số nguyên \displaystyle k bé nhất có tính chất: nếu cả hai thành phần nhỏ nhất trong \displaystyle A,B\in S không bé hơn \displaystyle k, thì \displaystyle A\rightarrow B kéo theo \displaystyle B\rightarrow A.
(2) Với số \displaystyle k tìm được trong phần trên, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu phần tử của \displaystyle S sao cho với mỗi \displaystyle A,B khác nhau được chọn, \displaystyle A\not\rightarrow B?
Bài 3. Cho số nguyên dương chẵn \displaystyle n. Xét các số thực không âm \displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n có tổng bằng \displaystyle 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \displaystyle \displaystyle\sum_{1\le i<j\le n}\min\{(i-j)^2,(n+i-j)^2\}a_ia_j.
Bài kiểm tra số 2 – Ngày thứ hai
Bài 4. Tồn tại hay không hai tập \displaystyle A\displaystyle B các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện: \displaystyle A là tập hữu hạn có ít nhất hai phần tử, \displaystyle B là tập vô hạn; hai phần tử bất kỳ trong tập \displaystyle A+B:=\{a+b|a\in A,\, b\in B\} nguyên tố cùng nhau; với mỗi hai số nguyên dương \displaystyle m,n nguyên tố cùng nhau, có \displaystyle x\in A+B để \displaystyle x\equiv n \pmod m?
Bài 5. Cho \displaystyle M là trung điểm của cạnh \displaystyle BC của tam giác \displaystyle ABC. Đường tròn đường kính \displaystyle BC, ký hiệu \displaystyle \omega, cắt \displaystyle AB,AC lần hai tại \displaystyle D,E tương ứng. \displaystyle P nằm trong tam giác \displaystyle ABC sao cho \displaystyle \angle PBA=\angle PAC, \displaystyle \angle PCA=\angle PAB\displaystyle 2PM\cdot DE=BC^2. Điểm X nằm ngoài \displaystyle \omega sao cho \displaystyle XM\parallel AP\displaystyle \displaystyle\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}. Chứng minh rằng \displaystyle \angle BXC +\angle BAC=90^{\circ}.
Bài 6. Với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau \displaystyle p,q>1, ta gọi mỗi số nguyên dương không có dạng \displaystyle px+qy (\displaystyle x,y\in\mathbb{N}) là xấu, và ký hiệu \displaystyle S(p,q) là tổng của tất cả các số xấu là lũy thừa của \displaystyle 2019. Chứng minh tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle (p-1)(q-1) chia hết \displaystyle nS(p,q) với mọi \displaystyle p,q.
Bài kiểm tra số 3 – Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho các số phức \displaystyle x,y,z thỏa mãn \displaystyle |x|^2+|y|^2+|z|^2=1. Chứng minh rằng \displaystyle |x^3+y^3+z^3-3xyz| \le 1.
Bài 2. Cho \displaystyle S là tập các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \displaystyle n \in S khi và chỉ khi \displaystyle \displaystyle\sum_{d|n,d<n,d \in S} d \le n. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n=2^k \cdot p (k\in\mathbb{N}, \displaystyle p là số nguyên tố lẻ) sao cho \displaystyle \displaystyle \sum_{d|n,d<n,d \in S} d = n. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2019 của Trung Quốc”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2


Mời các bạn xem phần 1 ở https://nttuan.org/2018/04/02/chinatst2018-test1/


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC\displaystyle D là một điểm di động trên cạnh \displaystyle BC. Điểm \displaystyle E và điểm \displaystyle F lần lượt thuộc các cạnh \displaystyle AB\displaystyle AC sao cho \displaystyle BE=CD\displaystyle CF=BD. \displaystyle (BDE)\displaystyle (CDF) cắt nhau tại hai điểm khác nhau \displaystyle P\displaystyle D. Chứng minh tồn tại điểm cố định \displaystyle Q sao cho \displaystyle QP là hằng số.
Bài 2. Với mỗi số nguyên dương \displaystyle n, \textit{một phân hoạch nguyên} của \displaystyle n là một cách viết \displaystyle n thành tổng của các số nguyên dương (không kể thứ tự), số phân hoạch nguyên của \displaystyle n ký hiệu bởi \displaystyle p\left ( n \right ). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho
\displaystyle p\left ( n \right )+p\left ( n+4 \right )=p\left ( n+2 \right )+p\left ( n+3 \right ).
Bài 3. Cho hai số nguyên dương \displaystyle p,q. Có một cái bảng trên đó viết \displaystyle n số nguyên dương. Cho phép thực hiện phép toán sau: Chọn hai số bằng nhau \displaystyle a,a trên bảng và thay chúng bởi \displaystyle a+p,a+q. Tìm giá trị nhỏ nhất của \displaystyle n sao cho ta có thể thực hiện vô hạn lần phép toán trên. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 2”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho \displaystyle p;q là các số thực dương có tổng bằng \displaystyle 1. Chứng minh rằng với mỗi bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (y_1,y_2,...,y_n), tồn tại bộ \displaystyle n số thực \displaystyle (x_1,x_2,...,x_n) sao cho \displaystyle p\cdot \max\{x_i,x_{i+1}\} + q\cdot \min\{x_i,x_{i+1}\} = y_i với mỗi \displaystyle i=1,2,...,2017, ở đây \displaystyle x_{2018}=x_1.
Bài 2. Một số nguyên dương \displaystyle n được gọi là tốt nếu \displaystyle 2018| d(n). Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle k sao cho tồn tại cấp số cộng vô hạn có công sai \displaystyle k và mọi số hạng của nó là tốt.
Bài 3. Đường tròn \displaystyle \omega tiếp xúc với các cạnh \displaystyle AB, \displaystyle AC của tam giác \displaystyle ABC tại \displaystyle D, \displaystyle E tương ứng, sao cho \displaystyle D\neq B, \displaystyle E\neq C\displaystyle BD+CE<BC. \displaystyle F, \displaystyle G nằm trên \displaystyle BC sao cho \displaystyle BF=BD, \displaystyle CG=CE. \displaystyle DG cắt \displaystyle EF tại \displaystyle K. \displaystyle L nằm trên cung nhỏ \displaystyle DE của \displaystyle \omega sao cho tiếp tuyến tại \displaystyle L của \displaystyle \omega song song với \displaystyle BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp của \displaystyle \triangle ABC nằm trên \displaystyle KL. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2018 (China TST 2018) – Phần 1”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5


Các bạn có thể xem phần 4 tại https://nttuan.org/2018/03/07/chinatst2017-test4/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho số nguyên \displaystyle n\ge 3. Xét dãy \displaystyle a_1,a_2,...,a_n, nếu \displaystyle (a_i,a_j,a_k) thỏa mãn \displaystyle i+k=2j\, (i<j<k)\displaystyle a_i+a_k\ne 2a_j ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?
Bài 2. Tìm số nguyên dương \displaystyle m nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức \displaystyle f(x) với hệ số thực, tồn tại đa thức \displaystyle g(x) với hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại \displaystyle 2017 số khác nhau \displaystyle a_1,a_2,...,a_{2017} thỏa mãn \displaystyle g(a_i)=f(a_{i+1}) với mọi \displaystyle i=1,2,...,2017. Ở đây chỉ số lấy theo modulo \displaystyle 2017.
Bài 3. Với một điểm hữu tỷ \displaystyle (x,y), nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 2 nhưng không chia hết cho \displaystyle 3 ta tô nó màu đỏ, nếu \displaystyle xy là số nguyên chia hết cho \displaystyle 3 nhưng không chia hết cho \displaystyle 2 ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng \displaystyle 2017 điểm xanh và đúng \displaystyle 58 điểm đỏ? Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 5”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4


Các bạn có thể xem phần 3 tại https://nttuan.org/2017/04/14/topic-880/

Ngày thứ nhất
Bài 1. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{58}C_{2017+k}^{58-k}C_{2075-k}^{k}=\sum_{p=0}^{29}C_{4091-2p}^{58-2p}.
Bài 2. Cho tam giác \displaystyle ABC, đường tròn bàng tiếp góc \displaystyle A tiếp xúc với cạnh \displaystyle BC, đường thẳng \displaystyle AB\displaystyle AC lần lượt tại \displaystyle E,D,F. \displaystyle EZ là đường kính của đường tròn. \displaystyle B_1\displaystyle C_1 thuộc \displaystyle DF sao cho \displaystyle BB_1\perp{BC}, \displaystyle CC_1\perp{BC}. Đường thẳng \displaystyle ZB_1,ZC_1 cắt \displaystyle BC tại \displaystyle X,Y tương ứng. \displaystyle EZ cắt \displaystyle DF tại \displaystyle H, \displaystyle ZK vuông góc với \displaystyle FD tại \displaystyle K. Chứng minh rằng nếu \displaystyle H là trực tâm của tam giác \displaystyle XYZ thì \displaystyle H,K,X,Y cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Tìm số các bộ \displaystyle (x_1,...,x_{100}) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện
i) \displaystyle x_1,...,x_{100}\in\{1,2,..,2017\};
ii) \displaystyle 2017|x_1+...+x_{100};
iii) \displaystyle 2017|x_1^2+...+x_{100}^2. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 4”

China TST 2003 – Test 3/ Problem 3


Bài toán. Cho \displaystyle x_0+\sqrt{2003}y_0 là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell \displaystyle x^2-2003y^2=1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương \displaystyle (x,y) của phương trình sao cho \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x.

Lời giải. Từ giả thiết, tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle x+\sqrt{2003}y=(x_0+\sqrt{2003}y_0)^n.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \displaystyle n chẵn.

Ta có \displaystyle x\equiv 2003^{n/2}y_0^n\pmod{x_0}, trái với giả thiết \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x. Continue reading “China TST 2003 – Test 3/ Problem 3”

China TST 2014 – Test 3/Problem 3


Bài toán.  Chứng minh rằng không tồn tại cặp (x,y) các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle (x+1) (x+2)\cdots (x+2014)= (y+1) (y+2)\cdots (y+4028).

Lời giải. Tồn tại số nguyên dương i sao cho \displaystyle v_2(x+i)=\max_{1\leq j\leq 2014} v_2(x+j). Suy ra với mỗi 1\leq j\leq 2014, j\not=i ta có v_2(x+j)=v_2(x+i+(j-i))=v_2(j-i), thật vậy, không thể có v_2(j-i)>v_2(x+i), vì nếu không, v_2(j-i)>v_2(x+i)\,\forall i, do đó v_2(j-i)\geq 11 vì trong vế trái sẽ có số chia hết cho 1024, suy ra |j-i|\geq 2^{11}, vô lý. Continue reading “China TST 2014 – Test 3/Problem 3”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 3


Các bạn có thể xem phần 2 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/09/topic-879/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên n \geq 4. Xét các số thực không âm x_1,\ldots,x_n thỏa mãn x_1 + \cdots + x_n = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots + x_nx_1x_2.

Bài 2. Cho ABCD là tứ giác lồi không nội tiếp. Gọi hình chiếu vuông góc của A trên BC,BD,CDP,Q,R tương ứng, ở đây P,Q nằm trên cạnh BC,BD còn R nằm ngoài cạnh CD. Gọi hình chiếu vuông góc của D trên AC,BC,ABX,Y,Z tương ứng, ở đây X,Y nằm trên cạnh AC,BC còn Z nằm ngoài cạnh BA. Gọi trực tâm của tam giác ABDH. Chứng minh rằng dây chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQRXYZ chia đôi BH.

Bài 3. Cho X là tập có 100 phần tử. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn: Với mỗi dãy n tập con của X, A_1,A_2,\ldots,A_n, tồn tại 1 \leq i < j < k \leq n sao cho A_i \subseteq A_j \subseteq A_k hoặc A_i \supseteq A_j \supseteq A_k.

Ngày thứ hai

Bài 4. Chứng minh rằng tồn tại đa thức P(x) = x^{58} + a_1x^{57} + \cdots + a_{58} sao cho nó có đúng 29 nghiệm thực dương, có đúng 29 nghiệm thực âm và \log_{2017} |a_i| là số nguyên dương với mọi 1 \leq i \leq 58. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 3”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2


Các bạn có thể xem phần 1 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/06/topic-878/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi D_n là tập tất cả các ước của nf(n) là số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho các phần tử của D_n đôi một khác nhau theo modulo m. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n \geq N, ta có f(n) \leq n^{0.01}.

Bài 2. 2017 kỹ sư tham gia một hội thảo. Nếu hai kỹ sư nào đó thảo luận với nhau thì họ chỉ dùng tiếng Anh hoặc tiếng Trung và không có hai kỹ sư nào lại thảo luận với nhau hơn một lần. Biết rằng trong mỗi bốn kỹ sư, có một số chẵn cuộc thảo luận giữa hai người trong họ và trong những cuộc thảo luận này các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

a) Ít nhất một cuộc thảo luận bằng tiếng Anh;

b) Hoặc không có cuộc thảo luận nào bằng tiếng Anh hoặc số cuộc thảo luận bằng tiếng Anh lớn hơn hoặc bằng số cuộc thảo luận bằng tiếng Trung.

Chứng minh rằng tồn tại 673 kỹ sư sao cho mỗi hai người trong họ đã thảo luận với nhau bằng tiếng Trung.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng l. Biết l cắt các đường thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD lần lượt tại X, X', Y, Y', Z, Z' và sáu điểm này nằm trên l theo thứ tự X, Y, Z, X', Y', Z'. Chứng minh rằng các đường tròn với đường kính XX', YY', ZZ' đồng trục.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho số nguyên n>1. Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn: với mọi tập \{a,b\}\subset \{1,2,\cdots,2n-1\}, tồn tại các số tự nhiên x,y không đồng thời bằng 0 sao cho 2n|ax+byx+y\leq m. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho hình bát diện đều T. Từ một điểm bên ngoài T có thể nhìn thấy nhiều nhất bao nhiêu cạnh của T? (Từ điểm P nhìn thấy được cạnh AB nếu giao của T và tam giác không suy biến PAB là đoạn AB).

Bài 2. Cho số thực x>1 và số nguyên dương n. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{\{kx \}}{[kx]}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}.

Bài 3. Cho S=\{1,2,3,...,2017\}. Với mọi tập con A của S, xác định số thực f(A)\geq 0 sao cho:

(1) Với mọi A,B\subset S, f(A\bigcup B)+f(A\bigcap B)\leq f(A)+f(B);

(2) Với mọi A\subset B\subset S, f(A)\leq f(B);

(3) Với mọi k,j\in S, f(\{1,2,...,k+1\})\geq f(\{1,2,...,k\}\bigcup \{j\});

(4) f(\varnothing)=0.

Chứng minh rằng với mọi tập con T có ba phần tử của S, ta có f(T)\leq \dfrac{27}{19}f(\{1,2,3\}).

Ngày thứ hai

Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) sao cho tồn tại hai đa thức monic P(x)Q(x), với \deg{P}=m, \deg{Q}=nP(Q(t))\not=Q(P(t)),\quad\forall t\in\mathbb{R}. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 1”