Month: August 2025

IMO Shortlist 2024: Geometry


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán hình học trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/

G1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610481p35341119

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp sao cho AC<BD<AD và \angle DBA<90^\circ. Điểm E nằm trên đường thẳng đi qua D song song với AB sao cho E và C nằm khác phía đối với AD và AC=DE. Điểm F nằm trên đường thẳng đi qua A song song với CD sao cho F và C nằm khác phía đối với AD và BD=AF. Chứng minh rằng các đường trung trực của BC và EF cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp của ABCD.

G2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359767p31218657

Cho ABC là một tam giác với AB < AC < BC. Gọi tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC lần lượt là I và \omega. Gọi X là điểm trên đường thẳng BC, khác C, sao cho đường thẳng qua X song song với AC tiếp xúc với \omega. Tương tự, gọi Y là điểm trên đường thẳng BC, khác B, sao cho đường thẳng qua Y song song với AB tiếp xúc với \omega. Đường thẳng AI cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại P. Gọi K và L lần lượt là trung điểm của AC và AB. Chứng minh rằng \angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}. (IMO2024/4)        

G3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610478p35341061

Cho ABCDE là một ngũ giác lồi và M là trung điểm của AB. Giả sử AB tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác CME tại M và D nằm trên các đường tròn ngoại tiếp của AME và BMC. Các đường thẳng AD và ME cắt nhau tại K, và các đường thẳng BD và MC cắt nhau tại L. Các điểm P và Q nằm trên đường thẳng EC sao cho \angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB. Chứng minh rằng các đường thẳng KP, LQ, và MD đồng quy.

G4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610440p35340910

Cho ABCD là tứ giác có AB song song với CD và AB<CD. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại P. Điểm X khác C nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC sao cho PC=PX. Điểm Y khác D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD sao cho PD=PY. Hai đường thẳng AX và BY cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng PQ song song với AB.

G5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610468p35340974

Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I, và \Omega là đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC. Cho K là một điểm nằm trong đoạn thẳng BC sao cho \angle BAK < \angle KAC. Đường phân giác của \angle BKA cắt \Omega tại các điểm W và X sao cho A và W nằm cùng một phía đối với BC, và đường phân giác của \angle CKA cắt \Omega tại các điểm Y và Z sao cho A và Y nằm cùng một phía đối với BC. Chứng minh rằng \angle WAY = \angle ZAX.

G6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610439p35340907

Cho ABC là tam giác nhọn với AB < AC, và \Gamma là đường tròn ngoại tiếp ABC. Các điểm X và Y nằm trên \Gamma sao cho XY và BC cắt nhau trên đường phân giác ngoài của \angle BAC. Giả sử các tiếp tuyến của \Gamma tại X và Y cắt nhau tại điểm T nằm cùng phía với A đối với BC, và TX và TY cắt BC tại U và V, tương ứng. Gọi J là tâm của đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh T của tam giác TUV. Chứng minh rằng AJ là phân giác của \angle BAC.

G7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610452p35340925

Cho ABC là tam giác có tâm nội tiếp I sao cho AB<AC<BC. Giao điểm thứ hai của AI, BI, và CI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là M_{A}, M_{B}, và M_{C}. Các đường thẳng AI và BC cắt nhau tại D và các đường thẳng BM_{C} và CM_{B} cắt nhau tại X. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác XM_{B}M_{C} và XBC cắt nhau tại S\neq X. Các đường thẳng BX và CX cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác SXM_{A} tại P\neq X và Q\neq X, tương ứng. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SID nằm trên PQ.

G8.  https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610449p35340922

Cho tam giác ABC có AB<AC<BC, và D là một điểm nằm trong đoạn thẳng BC. Cho E là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC sao cho A và E nằm khác phía đối với BC và \angle{BAD}=\angle{EAC}. Gọi I,I_B,I_C,J_B và J_C lần lượt là tâm nội tiếp của các tam giác ABC,ABD,ADC,ABE và AEC. Chứng minh rằng I_B,I_C,J_B và J_C đồng viên khi và chỉ khi AI,I_BJ_C và J_BI_C đồng quy.

Formal power series


Định nghĩa 1. Một chuỗi lũy thừa hình thức là một biểu diễn có dạng

          a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots,

hay gọn hơn \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k. Trong đó (a_n)_{n\geq 0} là một dãy các số phức. Các a_i được gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa hình thức, a_0 được gọi là hệ số tự do của chuỗi lũy thừa hình thức. 

Từ “hình thức” trong định nghĩa trên có nghĩa là ta không bận tâm đến việc cho x các giá trị đặc biệt, ta cũng không quan tâm đến tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Tập tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số thuộc một tập hợp A được ký hiệu bởi A[[x]]. Với một chuỗi lũy thừa hình thức a(x), ta ký hiệu hệ số của x^n trong chuỗi này bởi [x^n]a(x).

Nếu a_i=0 với mọi i>m thì để cho gọn, chuỗi \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n sẽ được viết là

a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m.

Chuỗi lũy thừa hình thức với tất cả các hệ số bằng 0 được gọi là chuỗi không, ký hiệu là 0. Tổng và tích của hai chuỗi lũy thừa hình thức \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n và \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n được định nghĩa bởi

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n+\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n

và

\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)x^n.

Với hai phép toán này thì \mathbb{C}[[x]] là một vành giao hoán có đơn vị là chuỗi đơn vị 1+0x^1+0x^2+0x^3+\ldots, ký hiệu là 1.

Tương tự như với các số phức, ta có kết quả sau:

Định lý 1. Nếu a và b là các phần tử khác không của \mathbb{C}[[x]], thì chuỗi tích ab cũng khác chuỗi không.

Chứng minh. Gọi m là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho [x^m]a\not=0, và n là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho [x^n]b\not=0. Khi đó

[x^{m+n}](ab)=([x^m]a)([x^n]b)\not=0,

suy ra ab khác chuỗi không. \Box

Khác với phép nhân trong tập các số phức, không phải mọi chuỗi khác không đều có nghịch đảo. Chẳng hạn, khi a(x)=0+x+0x^2+0x^3+\ldots, (chuỗi này thường được viết là a(x)=x) thì a(x)\not=0 nhưng không có chuỗi b(x) để a(x)b(x)=1.

Định lý 2. Chuỗi a(x) có nghịch đảo khi và chỉ khi [x^0]a(x)\not=0.

Chứng minh. Giả sử chuỗi a(x) có nghịch đảo, và b(x) là nghịch đảo của nó. Khi đó

1=[x^0](ab)=([x^0]a)([x^0]b),

suy ra [x^0]a(x)\not=0.

Bây giờ giả sử \displaystyle a(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n là một chuỗi lũy thừa hình thức có a_0=[x^0]a(x)\not=0. Chuỗi lũy thừa hình thức \displaystyle b(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n là nghịch đảo của a(x) khi và chỉ khi a_0b_0=1 và

\displaystyle\sum _{k=0}^na_kb_{n-k}=0,\quad\forall n\geq 1.

Từ hệ này ta có thể xác định b(x) bởi b_0=1/a_0 và

\displaystyle b_n=-\frac{1}{a_0}\sum _{k=1}^na_kb_{n-k},\quad\forall n\geq 1. \Box

Khi a là một chuỗi có nghịch đảo thì ta ký hiệu chuỗi nghịch đảo của nó bởi a^{-1}. Tích của chuỗi b và chuỗi a^{-1} thường được viết là \frac{b}{a}.

Ví dụ. Chuỗi lũy thừa hình thức 1-x có nghịch đảo là chuỗi

\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots

Định nghĩa 2. Dãy các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức \{S_n(x)\}_{n\geq 1} được gọi là hội tụ đến chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức S(x), ký hiệu \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n(x)=S(x), nếu với mỗi n\geq 0 có số nguyên dương N sao cho [x^n]S_i(x)=[x^n]S(x) mỗi khi i\geq N. Trong trường hợp này ta nói \{S_n(x)\}_{n\geq 1} là một dãy hội tụ.

Khi \displaystyle A(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n là một phần tử khác không của \mathbb{C}[[x]], ta gọi bậc của A(x), ký hiệu \deg A(x), là số n nhỏ nhất sao cho a_n\not=0. Dễ thấy nếu B(x) và C(x) là các phần tử khác không của \mathbb{C}[[x]] thì B(x)C(x) cũng là một phần tử khác không của \mathbb{C}[[x]], và

\deg B(x)C(x)=\deg B(x)+\deg C(x).

Ta quy ước \deg 0=\infty. Sử dụng bậc của một chuỗi lũy thừa hình thức ta có một định nghĩa khác của tính hội tụ của dãy các chuỗi lũy thừa hình thức.

Continue reading “Formal power series” →