January 23, 2025

Phần Hình học các bạn xem ở đây https://nttuan.org/2024/11/02/isl2023-geometry/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359728p31218381

Giáo sư Oak đang cho $100$ Pokemon của mình ăn. Mỗi Pokemon có một chiếc bát có sức chứa là số thực dương kilogam. Những sức chứa này đã được Giáo sư biết đến. Tổng sức chứa của tất cả các bát là $100$ kg. Giáo sư Oak phân phát $100$ kg thức ăn theo cách mà mỗi Pokemon nhận được số nguyên không âm kg thức ăn (có thể lớn hơn dung tích của bát). Mức độ không hài lòng của Pokemon nhận được $N$ kg thức ăn và bát của nó có sức chứa $C$ kg là $\lvert N-C\rvert$ . Tìm số thực nhỏ nhất $D$ sao cho bất kể dung tích của các bát như thế nào, Giáo sư Oak có thể phân phát thức ăn sao cho tổng các mức độ không hài lòng của tất cả các Pokemon nhiều nhất là $D$ .

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359723p31218373

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)f(x-y)\geqslant f(x)^2-f(y)^2$ với mọi số thực $x$ và $y$ . Giả sử có bất đẳng thức thực sự với hai số thực $x_0$ và $y_0$ nào đó. Chứng minh rằng $f(x)\geqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ hoặc $f(x)\leqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107339p28104298

Cho $2023$ số thực dương $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ đôi một khác nhau thỏa mãn $a_n=\sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}$ là số nguyên với mọi $n=1,2,\ldots,2023$ . Chứng minh rằng $a_{2023}\geq 3034$ . (IMO2023/4)

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359742p31218446

Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ sao cho

$x \cdot \left(f(x) + f(y)\right) \geq \left(f(f(x)) + y\right) \cdot f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359722p31218372

Cho các số nguyên dương $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ thỏa mãn

(1) $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ là một hoán vị của $1$ , $2$ , $\dots$ , $2023$ , và

(2) $|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{2022}-a_{2023}|$ là một hoán vị của $1$ , $2$ , $\dots$ , $2022$ .

Chứng minh rằng $\max(a_1,a_{2023})\ge 507$ .

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106754p28097579

Với số nguyên $k>1,$ tìm tất cả các dãy vô hạn số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ sao cho tồn tại đa thức $P$ với hệ số nguyên không âm có dạng $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ để $P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$ với mọi số nguyên dương $n.$ (IMO2023/3)

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359726p31218377

Cho số nguyên dương $N$ . Chứng minh rằng có ba hoán vị $a_1$ , $\dots$ , $a_N$ , $b_1$ , $\dots$ , $b_N$ , và $c_1$ , $\dots$ , $c_N$ của $1$ , $\dots$ , $N$ sao cho $\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{N}\right|<2023$ với mọi $k=1,2,\dots,N$ .