Đề chọn đội VMO 2017


Giống như topic năm 2015 https://nttuan.org/2015/10/26/topic-703/, trong topic này tôi sẽ tổng hợp tất cả các đề chọn đội VMO2017 của các tỉnh thành *.pdf. Mọi người có thể hỗ trợ tôi theo các cách:

1) Chỉ ra lỗi trong file;

2) Gửi đề của tỉnh mình qua email cho tôi (có file text càng tốt 😛 ).

Continue reading “Đề chọn đội VMO 2017”

IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2015 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Continue reading “IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO Shortlist 2015 – Number theory


Các bạn có thể xem các phần trước của ISL 2015 ở các link

https://nttuan.org/2016/08/25/topic-812/

https://nttuan.org/2016/08/20/topic-811/

https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/

N1. Tìm tất cả các số nguyên dương M sao cho dãy a_0, a_1, a_2, \cdots xác định bởi a_0 = M + \dfrac{1}{2}a_{k+1} = a_k\lfloor a_k \rfloor với k = 0, 1, 2, \cdots chứa ít nhất một số nguyên.

N2. Cho các số nguyên dương ab sao cho a! + b! chia hết a!b!. Chứng minh 3a \ge 2b + 2.

N3. Cho mn là các số nguyên dương sao cho m>n. Định nghĩa x_k=\dfrac{m+k}{n+k} với k=1,2,\ldots,n+1. Chứng minh rằng nếu x_1,x_2,\ldots,x_{n+1} là các số nguyên thì x_1x_2\ldots x_{n+1}-1 chia hết cho một số nguyên tố lẻ.

N4. Cho a_0, a_1, \cdots b_0, b_1, \cdots là hai dãy các số nguyên dương thỏa mãn a_0, b_0 \ge 2

a_{n+1} = \gcd{(a_n, b_n)} + 1, b_{n+1} = \text{lcm}{(a_n, b_n)} - 1. Chứng minh dãy a_n là hằng kể từ lúc nào đó.

N5. Tìm tất cả các bộ ba (a,b,c) các số nguyên dương sao cho

ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b là các lũy thừa của 2. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Number theory”