Đề chọn đội VMO 2017


Giống như topic năm 2015 https://nttuan.org/2015/10/26/topic-703/, trong topic này tôi sẽ tổng hợp tất cả các đề chọn đội VMO2017 của các tỉnh thành *.pdf. Mọi người có thể hỗ trợ tôi theo các cách:

1) Chỉ ra lỗi trong file;

2) Gửi đề của tỉnh mình qua email cho tôi (có file text càng tốt 😛 ).

Continue reading “Đề chọn đội VMO 2017”

Operations on rational numbers (2)


Mời các bạn xem phần đầu ở https://nttuan.org/2016/09/11/topic-815/

Bài 6. Thực hiện các phép tính:

a) \displaystyle A=\frac{\frac{3}{7}-\frac{3}{17}+\frac{3}{37}}{\frac{5}{7}-\frac{5}{17}+\frac{5}{37}}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}-\frac{7}{4}+\frac{7}{3}-\frac{7}{2}};

b) \displaystyle B=\frac{\frac{2}{39}-\frac{1}{15}-\frac{2}{153}}{\frac{1}{34}+\frac{3}{20}-\frac{3}{26}}:\frac{1+\frac{2}{71}-\frac{5}{121}}{\frac{65}{121}-\frac{26}{71}-13};

c) \displaystyle C=\left(\frac{112}{13.20}+\frac{112}{20.27}+\cdots+\frac{112}{62.69}\right):\left(-\frac{5}{9.13}-\frac{7}{9.25}-\frac{13}{19.25}-\frac{31}{19.69}\right);

d) \displaystyle D=\frac{2.2012}{1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+\cdots+2012}}.

Bài 7.

a) Cho 13 số hữu tỷ, trong đó tổng của 4 số bất kỳ nào cũng là một số dương. Chứng minh tổng của 13 số đó cũng là số dương;

b) Cho 13 số hữu tỷ, trong đó tích của ba số bất kỳ nào cũng là một số âm. Chứng minh cả 13 số đó đều âm.

Bài 8. Chứng minh

\displaystyle \frac{(4\times 7+2)(6\times 9+2)(8\times 11+2)\cdots (100\times 103+2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12+2)\cdots (99\times 102 +2)}=510.

Bài 9. Thực hiện các phép tính

a) \displaystyle A=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2009}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2008}\right)-

\displaystyle \left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2009}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2008}\right);

b) \displaystyle B=\frac{3^2+1}{3^2-1}+\frac{4^2+1}{4^2-1}+\cdots+\frac{99^2+1}{99^2-1};

c) \displaystyle C=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+\cdots+\frac{1}{98.99.100}. Continue reading “Operations on rational numbers (2)”

IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)


Tôi gửi tặng mọi người 2 file pdf: Một file là bản tiếng Việt ISL 2015 do tôi dịch, file còn lại là bản tiếng Anh chính thức.

Continue reading “IMO 2015 Shortlist (*.pdf, full)”

IMO Shortlist 2015 – Number theory


Các bạn có thể xem các phần trước của ISL 2015 ở các link

https://nttuan.org/2016/08/25/topic-812/

https://nttuan.org/2016/08/20/topic-811/

https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/

N1. Tìm tất cả các số nguyên dương M sao cho dãy a_0, a_1, a_2, \cdots xác định bởi a_0 = M + \dfrac{1}{2}a_{k+1} = a_k\lfloor a_k \rfloor với k = 0, 1, 2, \cdots chứa ít nhất một số nguyên.

N2. Cho các số nguyên dương ab sao cho a! + b! chia hết a!b!. Chứng minh 3a \ge 2b + 2.

N3. Cho mn là các số nguyên dương sao cho m>n. Định nghĩa x_k=\dfrac{m+k}{n+k} với k=1,2,\ldots,n+1. Chứng minh rằng nếu x_1,x_2,\ldots,x_{n+1} là các số nguyên thì x_1x_2\ldots x_{n+1}-1 chia hết cho một số nguyên tố lẻ.

N4. Cho a_0, a_1, \cdots b_0, b_1, \cdots là hai dãy các số nguyên dương thỏa mãn a_0, b_0 \ge 2

a_{n+1} = \gcd{(a_n, b_n)} + 1, b_{n+1} = \text{lcm}{(a_n, b_n)} - 1. Chứng minh dãy a_n là hằng kể từ lúc nào đó.

N5. Tìm tất cả các bộ ba (a,b,c) các số nguyên dương sao cho

ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b là các lũy thừa của 2. Continue reading “IMO Shortlist 2015 – Number theory”