Bài 1: Cho tam giác và các điểm , , lần lượt nằm trên , , sao cho tâm đường tròn nội tiếp của tam giác và tam giác trùng nhau, đồng thời bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng một nửa bán kính đường tròn nội tiếp tam giác . Chứng minh rằng là tam giác đều.
Bài 2: Cho là một số tự nhiên cố định. Chứng minh rằng tập hợp các ước nguyên tố của với là vô hạn.
Bài 3: Giả sử là ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Ngày 2
Bài 4: Tìm tất cả các đa thức với hệ số nguyên sao cho, với mọi số nguyên tố và các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện , ta luôn có .
Bài 5: Cho tam giác có , và là ba đường cao. Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống , và là một điểm trên sao cho . Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho một đường đi khép kín trên các đỉnh của một lưới hình vuông đi qua mỗi đỉnh đúng một lần. Chứng minh rằng tồn tại hai đỉnh kề nhau sao cho nếu ta cắt đường đi tại hai điểm này thì độ dài của mỗi phần nhận được không nhỏ hơn một phần tư tổng chiều dài đường đi.
Ngày 3
Bài 7: Giả sử có ba phương trên mặt phẳng. Ta vẽ 11 đường thẳng theo mỗi phương. Tìm số lượng tối đa các điểm trên mặt phẳng nằm trên cả ba đường thẳng.
Bài 8: Tìm tất cả các đa thức sao cho với mọi số thực và , ta có
.
Bài 9: Trong tam giác , gọi và lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tâm với các cạnh và . Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống . Điểm nằm trên sao cho . Nếu là trực tâm của tam giác , chứng minh rằng chia đôi .
Ngày 4
Bài 10: Cho tam giác với . là một điểm trên sao cho và nằm giữa và . Gọi là tâm đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với cạnh và phần kéo dài của các cạnh . Đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm thứ hai . Nếu , hãy tính .
Bài 11: Cho là một số nguyên dương. Chứng minh rằng
Bài 12: Cho là một tập con của có tính chất sau: với mọi phân biệt, không chia hết cho . Chứng minh rằng
T's Lab 