Day: December 25, 2009

Iran Team Selection Test 2009


Ngày 1

Bài 1: Cho tam giác ABC và các điểm A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} lần lượt nằm trên BC, CA, AB sao cho tâm đường tròn nội tiếp của tam giác A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} và tam giác ABC trùng nhau, đồng thời bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} bằng một nửa bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

Bài 2: Cho a là một số tự nhiên cố định. Chứng minh rằng tập hợp các ước nguyên tố của 2^{2^{n}}+a với n=1,2,\dots là vô hạn.

Bài 3: Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}+a^{2}}\le\frac{3}{4}.

Ngày 2

Bài 4: Tìm tất cả các đa thức f với hệ số nguyên sao cho, với mọi số nguyên tố p và các số tự nhiên u, v thỏa mãn điều kiện p|uv-1, ta luôn có p|f(u)f(v)-1.

Bài 5: Cho tam giác ABC có AA^{\prime}, BB^{\prime} và CC^{\prime} là ba đường cao. Gọi P là chân đường vuông góc hạ từ C^{\prime} xuống A^{\prime}B^{\prime}, và Q là một điểm trên A^{\prime}B^{\prime} sao cho QA=QB. Chứng minh rằng:
\angle PBQ=\angle PAQ=\angle PC^{\prime}C

Bài 6: Cho một đường đi khép kín trên các đỉnh của một lưới hình vuông n \times n đi qua mỗi đỉnh đúng một lần. Chứng minh rằng tồn tại hai đỉnh kề nhau sao cho nếu ta cắt đường đi tại hai điểm này thì độ dài của mỗi phần nhận được không nhỏ hơn một phần tư tổng chiều dài đường đi.

Continue reading “Iran Team Selection Test 2009” →