Canadian Mathematical Olympiad 2008

Bài 1. Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi có $AB$ là cạnh dài nhất. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$ và $BC$ , sao cho mỗi đoạn thẳng $AN$ và $CM$ chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng đoạn thẳng $MN$ chia đôi đường chéo $BD$ .

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập hợp các số hữu tỉ và nhận giá trị hữu tỉ sao cho $f(2f(x)+f(y))=2x+y$ , với mỗi $x$ và $y$ .

Bài 3. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng

$\displaystyle\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{2}$ .

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập hợp các số tự nhiên và nhận giá trị là các số tự nhiên sao cho $(f(n))^{p}\equiv n \pmod{f(p)}$ với mọi $n\in \mathbb{N}$ và mọi số nguyên tố $p$ .

Bài 5. Một đường đi của quân xe không tự cắt trên một bàn cờ (một lưới chữ nhật gồm các ô vuông đơn vị) là một đường đi được tạo ra bởi một chuỗi các nước đi song song với một cạnh của bàn cờ từ một ô vuông đơn vị này sang một ô vuông đơn vị khác, sao cho mỗi nước đi bắt đầu từ nơi nước đi trước đó kết thúc và không có nước đi nào đi qua một ô vuông đã được đi qua trước đó, tức là đường đi của quân xe không tự cắt. Gọi $R(m,n)$ là số các đường đi của quân xe không tự cắt trên một bàn cờ kích thước $m\times n$ ( $m$ hàng, $n$ cột) bắt đầu tại góc dưới bên trái và kết thúc tại góc trên bên trái. Ví dụ, $R(m,1)=1$ với mọi số tự nhiên $m$ ; $R(2,2)=2$ ; $R(3,2)=4$ ; $R(3,3)=11$ . Tìm một công thức cho $R(3,n)$ với mỗi số tự nhiên $n$ .