Việt Nam TST 2020


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho trước n>2 là số nguyên dương và dãy số nguyên dương {{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\ldots <{{a}_{n}}. Trong các tập con của tập hợp \{1,2,\ldots ,n\}, gọi X là một tập sao cho \left| \sum\limits_{i\notin X}{{{a}_{i}}}-\sum\limits_{i\in X}{{{a}_{i}}} \right| là nhỏ nhất. Chứng minh rằng tồn tại dãy số nguyên dương {{b}_{1}}<{{b}_{2}}<\cdots <{{b}_{n}} sao cho \displaystyle \sum\limits_{i\notin X}{{{b}_{i}}}=\sum\limits_{i\in X}{{{b}_{i}}}.

Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O), có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt ở D,E,F. Gọi K,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB.

1) Chứng minh rằng các đường thẳng qua D,E,F lần lượt song song với IK,IM,IN đồng quy.

2) Gọi T,P,Q lần lượt là điểm chính giữa các cung lớn BC,CA,AB của (O). Chứng minh rằng đường thẳng qua D,E,F và song song với IT,IP,IQ cũng đồng quy.

Bài 3. Với số nguyên dương n cho trước, xét một giải bóng đá có 4n đội bóng được tổ chức thi đấu với nhau qua các lượt trận. Ở mỗi lượt trận, người ta chia 4n đội bóng thành 2n cặp thi đấu với nhau. Biết rằng sau giải đấu thì hai đội bất kỳ đấu với nhau không quá một lần. Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất để có thể sắp xếp một lịch thi đấu gồm a lượt trận thỏa mãn điều kiện trên và sau a lượt thi đấu đó, với mọi cách chia các đội bóng thành 2n cặp thì luôn có ít nhất một cặp đã thi đấu với nhau.

Ngày thứ hai

Bài 4. Với n là số nguyên dương, xét bảng ô vuông (2n+1)\times (2n+1) và ban đầu, mỗi ô có tô màu trắng hoặc đen. Ở mỗi hàng và cột, nếu số ô trắng ít hơn số ô đen thì đánh dấu tất cả ô trắng (nếu có) và ngược lại; nếu số ô trắng nhiều hơn số ô đen thì đánh dấu tất cả ô đen. Gọi a là số ô đen,  b là số ô trắng và c là số ô được đánh dấu. Chứng minh rằng \displaystyle c\ge \frac{\min \{a,b\}}{2}.

Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại hữu hạn số nguyên dương n lẻ thỏa mãn n|{{k}^{n}}+1.

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn (O) có các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại trực tâm H. Gọi G là điểm đối xứng với O qua BC. Kẻ các đường kính EK,FL theo thứ tự của các đường tròn (GHE),(GHF).

1) Giả sử AK,AL lần lượt cắt DE,DFU,V. Chứng minh rằng UV song song với EF.

2) Gọi S là giao điểm hai tiếp tuyến của (O)B,C. Gọi T là giao điểm của DS,HG. Gọi M,N là hình chiếu của H lên các đường thẳng TE,TF. Chứng minh rằng M,N,E,F cùng thuộc một đường tròn.

APMO 2020


Olympic Toán học châu Á Thái Bình Dương (APMO) là cuộc thi toán học dành cho các quốc gia trong Khu vực Vành đai Thái Bình Dương.

APMO được tổ chức hàng năm. Mỗi quốc gia tham gia có một đại diện phụ trách tổ chức APMO tại địa phương. Một ủy ban chọn một đề thi với 5 câu hỏi được giải trong 4 giờ, gửi đáp án và biểu điểm và xác định các thi sinh đạt giải.

APMO được tổ chức lần đầu năm 1989. Các mục tiêu của nó là:

1) Phát hiện, khuyến khích và thử thách các học sinh trung học có năng khiếu toán.

2) Thúc đẩy quan hệ và hợp tác giữa học sinh và giáo viên trong khu vực.

3) Tạo cơ hội cho việc trao đổi thông tin về giáo trình ở các nhà trường.

4) Khuyến khích và hỗ trợ  phong trào Olympic toán ở các nước tham gia và các nước khác trong khu vực.

Website chính thức của kỳ thi: http://www.apmo-official.org/.

Dưới đây là đề thi năm 2020.

Continue reading “APMO 2020”