Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC. Gọi \displaystyle X là điểm sao cho \displaystyle AX tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác \displaystyle ABC. Ký hiệu \displaystyle \omega_B là đường tròn qua \displaystyle M, \displaystyle B và tiếp xúc với \displaystyle MX, \displaystyle \omega_C là đường tròn qua \displaystyle N, \displaystyle C và tiếp xúc với \displaystyle NX. Chứng minh rằng \displaystyle \omega_B\displaystyle \omega_C cắt nhau trên \displaystyle BC.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương \displaystyle n sao cho tồn tại một song ánh \displaystyle g: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} để \displaystyle 101 hàm \displaystyle g(x), \quad g(x) + x, \quad g(x) + 2x, \quad \dots, \quad g(x) + 100x là song ánh trên \displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
Bài 3. Một con rắn độ dài \displaystyle k là một động vật nằm ở bộ \displaystyle (s_1, \dots, s_k) gồm \displaystyle k ô vuông con của bảng \displaystyle n \times n các ô vuông con, các ô vuông con này đôi một khác nhau, đồng thời \displaystyle s_i\displaystyle s_{i+1} có chung cạnh với mọi \displaystyle i = 1, \dots, k-1. Nếu con rắn nằm ở \displaystyle (s_1, \dots, s_k)\displaystyle s là một ô vuông con không thuộc bộ đó và có chung cạnh với \displaystyle s_1, thì nó có thể di chuyển đến \displaystyle (s, s_1, \dots, s_{k-1}). Con rắn được gọi là quay lại nếu lúc đầu nó ở vị trí \displaystyle (s_1, s_2, \dots, s_k) và sau một số hữu hạn lần di chuyển nó ở vị trí \displaystyle (s_k, s_{k-1}, \dots, s_1). Tồn tại hay không số nguyên \displaystyle n > 1 có tính chất: có thể đặt một con rắn độ dài \displaystyle 0.9n^2 trong một bảng \displaystyle n \times n sao cho nó có thể quay đầu. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển IMO 2019 của Mỹ”

USA TSTST 2017


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tam giác \displaystyle ABC nội tiếp đường tròn \displaystyle \Gamma có tâm \displaystyle O, và trực tâm \displaystyle H. Giả sử \displaystyle AB\neq AC\displaystyle \angle A \neq 90^{\circ}. Gọi \displaystyle M\displaystyle N lần lượt là trung điểm của \displaystyle AB\displaystyle AC, và \displaystyle E\displaystyle F lần lượt là chân các đường cao hạ từ \displaystyle B\displaystyle C của tam giác \displaystyle ABC. Gọi \displaystyle P là giao điểm của \displaystyle MN với tiếp tuyến của \displaystyle \Gamma tại \displaystyle A. Gọi \displaystyle Q là giao điểm thứ hai của \displaystyle \Gamma với \displaystyle (AEF). Gọi \displaystyle R là giao điểm của \displaystyle AQ\displaystyle EF. Chứng minh rằng \displaystyle PR\perp OH.
Bài 2. Ana và Banana đang chơi một trò như sau: Đầu tiên Ana chọn một từ, là dãy khác rỗng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh. Sau đó Banana chọn một số tự nhiên \displaystyle k và đố Ana đưa ra một từ có đúng \displaystyle k dãy con bằng với từ của Ana. Ana thắng nếu có thể đưa ra một từ như thế, nếu không, cô ấy sẽ thua. Từ nào mà khi Ana chọn cô ấy sẽ luôn thắng với mọi cách chọn \displaystyle k của Banana?
Bài 3. Xét phương trình \displaystyle x^2-cx+1 = \dfrac{f(x)}{g(x)}, ở đây \displaystyle f\displaystyle g là các đa thức với hệ số thực không âm. Với \displaystyle c>0, xác định giá trị nhỏ nhất của \displaystyle \deg f hoặc chứng tỏ \displaystyle f,g không tồn tại.

Continue reading “USA TSTST 2017”

USA TST 2017 (1)


Đề thi chọn đội tuyển Mĩ tham dự IMO 2017

Bài 1. Trong một giải đấu thể thao, mỗi đội sử dụng một bộ nhiều nhất t màu nhận dạng. Một tập hợp S của các đội được gọi là nhận dạng được nếu ta có thể gán cho mỗi đội trong S một màu trong bộ màu của họ sao cho, không có đội nào trong S mang cùng màu với một đội khác trong S. Với tất cả các số nguyên dương nt, xác định số nguyên lớn nhất g (n, t) sao cho: Trong bất kỳ giải đấu thể thao với đúng n màu nhận dạng các đội tuyển, ta có thể tìm được một tập nhận dạng được với ít nhất g(n, t) thành viên.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O, và điểm T trên đường thẳng BC sao cho \angle TAO=90^{\circ}. Đường tròn đường kính AT cắt đường tròn ngoại tiếp của \Delta BOC tại hai điểm A_1A_2, trong đó OA_1 <OA_2. Các điểm B_1 , B_2 , C_1 , C_2 được định nghĩa tương tự. Continue reading “USA TST 2017 (1)”

Schur’s inequality (2)


Part 1

Bài 1. Cho các số thực dương a,bc thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

2(a^2+b^2+c^2)+12\geq 3(a+b+c)+3(ab+bc+ca).

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực không âm a,bc ta có

(a^4+b^4+c^4)(ab+bc+ca)\geq (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).

Bài 3. Cho ba số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2(a+b+c)}\geq 2.

Bài 4. Cho các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ca+abc=4. Chứng minh rằng 3(a^2+b^2+c^2)+abc\geq 10.

Bài 5. (USA TST 2002)

Chứng minh rằng với mỗi tam giác ABC ta có

\displaystyle\sum\sin\dfrac{3A}{2}\leq\sum\cos\dfrac{A-B}{2}.

Bài 6. Cho các số thực không âm a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\dfrac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq\max \{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\}.

Bài 7. (USA MO 2003)

Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có

\sum\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8. Continue reading “Schur’s inequality (2)”

Schur’s inequality (1)


See here.

Bài 1. (IMO 1984) Cho x,yz là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng 0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}.

Bài 2. (IMO 2000) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

\displaystyle\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leq 1.

Bài 4. (AoPS)  Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thì

a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca).

Bài 5. (Crux Math) Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có \displaystyle\sum\dfrac{1}{a}\geq\sum\dfrac{b+c}{a^2+bc}.

Bài 6. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\sqrt[3]{\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2}}\geq\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}. Continue reading “Schur’s inequality (1)”