Japan MO Finals 2019


Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba các số nguyên dương \displaystyle (a,\ b,\ c) sao cho
\displaystyle a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.
Bài 2. Cho số nguyên lẻ \displaystyle n\geq 3. Ta sẽ chơi một trò chơi trên bảng vuông \displaystyle n\times n như sau: Ở mỗi bước ta chọn một ô vuông con chưa được viết số và viết vào đó một số nguyên thuộc tập \displaystyle [n^2], mỗi số nguyên được dùng đúng một lần. Như vậy trò chơi sẽ kết thúc sau \displaystyle n^2 bước. Khi kết thúc, với mỗi ô vuông con, nếu hàng hoặc cột chứa nó có tổng các số chia hết cho \displaystyle n thì ta nhận được \displaystyle 1 điểm (nếu cả hai có tổng các số trên đó chia hết cho \displaystyle n thì ta có \displaystyle 2 điểm). Hỏi ta có thể nhận được nhiều nhất bao nhiêu điểm?
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho
\displaystyle f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x),\quad \forall x;y\in (0;+\infty).
Bài 4. Cho tam giác \displaystyle ABC với tâm nội tiếp \displaystyle I, đường tròn nội tiếp \displaystyle w, và \displaystyle M là trung điểm của \displaystyle BC. Đường thẳng qua \displaystyle A vuông góc với \displaystyle BC cắt đường thẳng qua \displaystyle M vuông góc với \displaystyle AI tại \displaystyle K. Chứng minh rằng đường tròn đường kính \displaystyle AK tiếp xúc với \displaystyle w. Continue reading “Japan MO Finals 2019”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017


Bài 1. Cho các số nguyên dương a,bc. Chứng minh rằng [a,b]\not= [a+c,b+c].
Bài 2. Cho số nguyên dương N và các số nguyên dương a_{1}, a_{2},\cdots, a_{N} sao cho không có số nào là bội của 2^{N+1}. Với mỗi số nguyên n\geq N+1, xác định a_{n} như sau: Nếu dư khi chia a_{k} cho 2^{n} là bé nhất trong các dư khi chia a_{1},\cdots, a_{n-1} cho 2^{n}, thì a_{n}=2a_{k} (nếu có nhiều số k thỏa mãn, ta lấy số lớn nhất). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương M sao cho a_{n}=a_{M} với mọi n\geq M.
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC với tâm ngoại tiếp O. Gọi D,EF lần lượt là chân các đường cao qua A,BC, và M là trung điểm của BC. AD cắt EF tại X, AO cắt BC tại Y, và Z là trung điểm của XY. Chứng minh A,ZM thẳng hàng.
Bài 4. Cho số nguyên n thỏa mãn n \geq 3. Có n người và một cuộc họp được tổ chức mỗi ngày một lần sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) trong mỗi cuộc họp, có ít nhất ba người tham gia.
(2) mỗi thành viên tham gia một cuộc họp đều bắt tay với tất cả những người còn lại tham dự cuộc họp đó.
(3) sau cuộc họp thứ n, mỗi cặp trong n người bắt tay nhau đúng một lần.
Chứng minh rằng số người tham gia các cuộc họp là bằng nhau. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017”