Bài 1. Cho các số nguyên dương và
. Chứng minh rằng
Bài 2. Cho số nguyên dương và các số nguyên dương
sao cho không có số nào là bội của
. Với mỗi số nguyên
, xác định
như sau: Nếu dư khi chia
cho
là bé nhất trong các dư khi chia
cho
, thì
(nếu có nhiều số
thỏa mãn, ta lấy số lớn nhất). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương
sao cho
với mọi
.
Bài 3. Cho tam giác nhọn với tâm ngoại tiếp
. Gọi
và
lần lượt là chân các đường cao qua
và
, và
là trung điểm của
.
cắt
tại
,
cắt
tại
, và
là trung điểm của
. Chứng minh
và
thẳng hàng.
Bài 4. Cho số nguyên thỏa mãn
. Có
người và một cuộc họp được tổ chức mỗi ngày một lần sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) trong mỗi cuộc họp, có ít nhất ba người tham gia.
(2) mỗi thành viên tham gia một cuộc họp đều bắt tay với tất cả những người còn lại tham dự cuộc họp đó.
(3) sau cuộc họp thứ , mỗi cặp trong
người bắt tay nhau đúng một lần.
Chứng minh rằng số người tham gia các cuộc họp là bằng nhau. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Nhật năm 2017”