VMO training 2016 – Part 2


Bài 10. Chứng minh rằng tồn tại 2015 số nguyên dương liên tiếp sao cho trong chúng có đúng 14 số nguyên tố.
Bài 11. Với số nguyên dương chẵn n ta đặt các số 1,2,...,n^2 vào các ô của bàn cờ cỡ n\times n (mỗi số xuất hiện đúng một lần trên bàn). Gọi S_1 là tổng các số trên các ô đen và S_2 là tổng các số trên các ô trắng. Tìm tất cả n sao cho ta có thể có \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{39}{64}.
Bài 12. Cho số nguyên tố lẻ p. Một bộ (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p) các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) 0\le a_i\le p-1 với mỗi i;
(2) a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p không chia hết cho p;
(3) a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1 chia hết cho p.
Tìm số các bộ tốt.
Bài 13. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{x/y\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh rằng |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 14. Cho n>1 là một số nguyên dương và T_n là số các tập con khác rỗng của tập \{1,2,\cdots,n\} sao cho trung bình cộng tất cả các phần tử của nó là một số nguyên. Chứng minh rằng T_n-n là một số chẵn.
Bài 15. Tìm số đa thức f(x)=ax^3+bx thỏa mãn cả hai điều kiện:
(i) a,b\in\{1,2,\ldots,2013\};
(ii) \{f(1),f(2),\ldots,f(2013)\} là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 2013. Continue reading “VMO training 2016 – Part 2”

T-Math 1


Bài 1. Cho dãy số (x_n)_{n\geq 1} xác định bởi
x_1=x_2=1,\,\, x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3}\,\,\forall n\geq 2. Chứng minh x_n<\dfrac{25}{4}\,\,\forall n\geq 1.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho có một hoán vị (p_1,p_2,...,p_n) của \{1,2,...,n\} để \{p_1 +1, p_2 + 2,..., p_n +n\}\{p_1-1, p_2-2,...,p_n -n\} là các hệ thặng dư đầy đủ modulo n.
Bài 3. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{\dfrac{x}{y}\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O_1,O_2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC,ABD tương ứng. Đường thẳng O_1O_2 cắt các đoạn thẳng BC,AD tại E,F tương ứng.
a) Chứng minh có đường tròn \Gamma tiếp xúc với các đường thẳng BC,AD tại E,F tương ứng;
b) Chứng minh \Gamma cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Continue reading “T-Math 1”

Phép vị tự


Bài 1. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, tâm ngoại tiếp O và trực tâm H. Chứng minh rằng G,OH thẳng hàng. Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn tiếp xúc trong với (ABC) và tiếp xúc với cạnh AB tại P, cạnh AC tại Q. Chứng minh rằng trung điểm của PQ là tâm nội tiếp của tam giác ABC.
Bài 3. Ba đường tròn bằng nhau có một điểm chung O và nằm trong một tam giác cho trước. Mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác. Chứng minh rằng tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp của tam giác và O thẳng hàng. Continue reading “Phép vị tự”

Phương pháp diện tích trong Hình học


Mấy ngày nay trên MS đang có topic thảo luận về “Phương pháp diện tích”. Đây là một bài giảng về phương pháp đó, cuối bài giảng có khá nhiều bài tập. Các anh em download về làm tài liệu phục vụ thảo luận, tôi không muốn post trực tiếp lên MS vì quá nhiều file sẽ làm nặng MS.

Danh sách đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010


1. Nguyễn Ngọc Trung, lớp 12, THPT chuyên Hùng Vương,Phú Thọ

2. Nguyễn Minh Hiếu, lớp 12, THPT chuyên,ĐHKHTN-ĐHQGHN

3. Vũ Đình Long, lớp 11, THPT chuyên,ĐHKHTN-ĐHQGHN

4. Trần Thái Hưng, lớp 11,TH Thực hành ĐHSP TP Hồ Chí Minh

5. Phạm Việt Cường, lớp 12 Lê Quý Đôn, Đà Nẵng
6. Nguyễn Kiều Hiếu, lớp 12 Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đề thi tôi đã post ở đây https://trungtuan.wordpress.com/2010/04/18/topic-43/

Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010


Ngày thứ nhất

Bài 1. \Delta ABC không vuông tại A, trung tuyến AMD là một điểm chạy trên AM. ( {O}_{1}),({O}_{2}) lần lượt là các đường tròn đi qua D và tiếp xúc với BC tại BCCA cắt ({O}_{2}) tại Q. BA cắt ({O}_{1}) tại P.

a)Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của ({O}_{1}) và tiếp tuyến tại Q của ({O}_{2})  phải cắt nhau, gọi giao điểm này là S.

b)Chứng minh rằng S luôn chạy trên một đường cố định khi D chạy trên AM.

Bài 2. Với mỗi n nguyên dương, xét tập sau {T}_{n}=\{11(k+h)+10({n}^{k}+{n}^{h})|1\leq k,h\leq 10\}. Tìm tất cả n sao cho không tồn tại a khác b\in {T}_{n}  sao cho a-b chia hết cho 110.

Bài 3. Hình chữ nhật  kích thước 1\times 2 được gọi là hình chữ nhật đơn( hcnd). hình chữ nhật 2\times 3 bỏ di hai ô ở góc chéo nhau(tức có có 4 ô) gọi là hcn kép (hcnk). Người ta ghép khít các hncd và hcnk được bảng 2008\times 2010. Tìm số bé nhất các hcnd có thể dùng để lát được như trên.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 16(a+b+c) \ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}. Chứng minh rằng \sum_{cyclic}{\dfrac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}} \le \dfrac{8}{9}.

Bài 5.n mỗi nước có k đại diện (n > k > 1). Người ta chia nk người này thành n nhóm mỗi nhóm có k người sao cho không có hai  người cùng nhóm đến từ một nước. Chứng minh rằng có thể chọn ra n người đến từ các nhóm khác nhau và đến từ các nước khác nhau.

Bài 6. Gọi S_n là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của (1+x)^n. Chứng minh rằng S_{2n} + 1 không chia hết cho 3.

———

Nguồn: Mathscope.org