Schur’s inequality (1)


See here.

Bài 1. (IMO 1984) Cho x,yz là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng 0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}.

Bài 2. (IMO 2000) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

\displaystyle\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leq 1.

Bài 4. (AoPS)  Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thì

a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca).

Bài 5. (Crux Math) Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có \displaystyle\sum\dfrac{1}{a}\geq\sum\dfrac{b+c}{a^2+bc}.

Bài 6. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\sqrt[3]{\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2}}\geq\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}. Continue reading “Schur’s inequality (1)”

China Team Selection Test 2016 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1. ABCDEF là lục giác nội tiếp với AB=BC=CD=DE. K là điểm trên cạnh AE sao cho \angle BKC=\angle KFE, \angle CKD = \angle KFA. Chứng minh KC=KF.

Bài 2. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mọi số phức {z_1},{z_2},{z_3}\in\{z\in C\big| |z|<1\} , nếu  z_1+z_2+z_3=0, thì \left|z_1z_2 +z_2z_3+z_3z_1\right|^2+\left|z_1z_2z_3\right|^2 <\lambda .

Bài 3. Cho số tự nhiên n \geq 2. Đặt

X = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_n) | a_k \in \{0,1,2,\cdots,k\}, k = 1,2,\cdots,n \}.

Với mỗi s = (s_1,s_2,\cdots,s_n) \in X, t = (t_1,t_2,\cdots,t_n) \in X, định nghĩa

s \vee t = (\max \{s_1,t_1\},\max \{s_2,t_2\}, \cdots , \max \{s_n,t_n\} )

s \wedge t = (\min \{s_1,t_1 \}, \min \{s_2,t_2,\}, \cdots, \min \{s_n,t_n\})

Tìm số phần tử lớn nhất có thể của một tập con thực sự A của X sao cho với mỗi s,t \in A, ta có s \vee t \in A, s \wedge t \in A. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (1)”

Danh sách đội Việt Nam tham dự IMO 2016


Theo fb thầy Nguyễn Khắc Minh.

————————-

TST 2016

TST (Team Selection Test) là tên gọi tắt bằng tiếng Anh của Kì thi chọn học sinh vào Đội tuyển học sinh Việt Nam dự thi IMO (International Mathematical Olympiad). TST 2016 là tên gọi tắt của TST được tổ chức vào năm 2016.

Theo Quy chế thi chọn học sinh giỏi quốc gia hiện hành:

+ Các học sinh được triệu tập tham dự TST bao gồm:
– Diện 1: Các học sinh đã dự thi IMO năm ngay trước, đồng thời đang học cấp THPT và không dự thi VMO được tổ chức cùng năm;
– Diện 2: n học sinh có điểm thi cao nhất tại VMO được tổ chức cùng năm, trong đó n là một số tự nhiên không vượt quá 48=8 x 6).
+ 06 thí sinh có điểm thi cao nhất sẽ được tuyển chọn vào Đội tuyển học sinh VN dự thi IMO được tổ chức cùng năm.

Theo Quy chế thi THPT quốc gia hiện hành, các học sinh lớp 12 dự thi TST được đặc cách công nhận Tốt nghiệp THPT.

TST 2016 được tổ chức trong 3 ngày, từ 23/3 đến 25/3/2016, tại Hà Nội. Ngày 23/3 là ngày các thí sinh làm các thủ tục dự thi và 2 ngày tiếp theo là các ngày thi.

Do sự cố kĩ thuật trong quá trình xử lí dữ liệu thi của VMO 2016, số học sinh được triệu tập tham dự TST 2016 là 50, gồm 01 học sinh thuộc diện 1 (em Vũ Xuân Trung, học sinh lớp 12 trường THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình) và 49 học sinh thuộc diện 2.
Trong mỗi ngày thi, các thí sinh được đề nghị giải 03 bài toán trong thời gian 270 phút. Điểm số cho mỗi bài toán thi là 7 điểm. Như vậy điểm tối đa của mỗi ngày thi là 21 và điểm tối đa của Kì thi là 42.

Việc chấm thi, xét duyệt và phê chuẩn kết quả thi của TST 2016 đã kết thúc vào chiều tối ngày 04/4/2016. Continue reading “Danh sách đội Việt Nam tham dự IMO 2016”

Vietnam Team Selection Test 2016


Kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2016 sẽ diễn ra vào hai ngày 24 và 25/3/2016. Tham dự kỳ thi là các thí sinh đạt ít nhất 27,5 điểm trong VMO 2016 và em Trung (HCV IMO 2015).

Hôm nay là 23, ngày mai tôi sẽ post đề thi ở topic này. Continue reading “Vietnam Team Selection Test 2016”

Phương trình hàm-07/03/2016


Bài 1. Cho hàm số f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn điều kiện
f(3x)\geq f(\dfrac{1}{2}f(2x))+2x\,\,\forall x>0. Chứng minh rằng f(x)\geq x\,\,\forall x>0.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:(0;+\infty)\to\ (0;\infty) sao cho
f(f(x))=6x-f(x)\,\,\forall x\in (0;+\infty).
Bài 3. Tìm tất cả các song ánh f:(0;+\infty)\to\ (0;\infty) sao cho
f(f(x))=6x+f(x)\,\,\forall x\in (0;+\infty).
Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f:[1,\infty)\to [1,\infty) sao cho
a) f(x)\leq 2(x+1)\,\,\forall x\geq 1
b) f(x+1)=\dfrac{f^2(x)-1}{x}\,\,\forall x\geq 1.
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thoả mãn
f(x^2+y+f(y))=f^2(x)+2y\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 6. Tìm tất cả f:(0;+\infty)\to\mathbb{R} thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1) f(x) liên tục trên (0;+\infty);
2) f(x)=f\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)\,\,\forall x\in (0;+\infty).
Bài 7. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho nó liên tục trên \mathbb{R}
f(x+f(y+z))+f(y+f(z+x))+f(z+f(x+y))=0\,\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}. Continue reading “Phương trình hàm-07/03/2016”

VMO training 2016 – Part 2


Bài 10. Chứng minh rằng tồn tại 2015 số nguyên dương liên tiếp sao cho trong chúng có đúng 14 số nguyên tố.
Bài 11. Với số nguyên dương chẵn n ta đặt các số 1,2,...,n^2 vào các ô của bàn cờ cỡ n\times n (mỗi số xuất hiện đúng một lần trên bàn). Gọi S_1 là tổng các số trên các ô đen và S_2 là tổng các số trên các ô trắng. Tìm tất cả n sao cho ta có thể có \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{39}{64}.
Bài 12. Cho số nguyên tố lẻ p. Một bộ (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p) các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) 0\le a_i\le p-1 với mỗi i;
(2) a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p không chia hết cho p;
(3) a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1 chia hết cho p.
Tìm số các bộ tốt.
Bài 13. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{x/y\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh rằng |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 14. Cho n>1 là một số nguyên dương và T_n là số các tập con khác rỗng của tập \{1,2,\cdots,n\} sao cho trung bình cộng tất cả các phần tử của nó là một số nguyên. Chứng minh rằng T_n-n là một số chẵn.
Bài 15. Tìm số đa thức f(x)=ax^3+bx thỏa mãn cả hai điều kiện:
(i) a,b\in\{1,2,\ldots,2013\};
(ii) \{f(1),f(2),\ldots,f(2013)\} là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 2013. Continue reading “VMO training 2016 – Part 2”

T-Math 1


Bài 1. Cho dãy số (x_n)_{n\geq 1} xác định bởi
x_1=x_2=1,\,\, x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3}\,\,\forall n\geq 2. Chứng minh x_n<\dfrac{25}{4}\,\,\forall n\geq 1.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho có một hoán vị (p_1,p_2,...,p_n) của \{1,2,...,n\} để \{p_1 +1, p_2 + 2,..., p_n +n\}\{p_1-1, p_2-2,...,p_n -n\} là các hệ thặng dư đầy đủ modulo n.
Bài 3. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{\dfrac{x}{y}\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O_1,O_2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC,ABD tương ứng. Đường thẳng O_1O_2 cắt các đoạn thẳng BC,AD tại E,F tương ứng.
a) Chứng minh có đường tròn \Gamma tiếp xúc với các đường thẳng BC,AD tại E,F tương ứng;
b) Chứng minh \Gamma cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Continue reading “T-Math 1”

Phép vị tự


Bài 1. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, tâm ngoại tiếp O và trực tâm H. Chứng minh rằng G,OH thẳng hàng. Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn tiếp xúc trong với (ABC) và tiếp xúc với cạnh AB tại P, cạnh AC tại Q. Chứng minh rằng trung điểm của PQ là tâm nội tiếp của tam giác ABC.
Bài 3. Ba đường tròn bằng nhau có một điểm chung O và nằm trong một tam giác cho trước. Mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác. Chứng minh rằng tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp của tam giác và O thẳng hàng. Continue reading “Phép vị tự”

Phương pháp diện tích trong Hình học


Mấy ngày nay trên MS đang có topic thảo luận về “Phương pháp diện tích”. Đây là một bài giảng về phương pháp đó, cuối bài giảng có khá nhiều bài tập. Các anh em download về làm tài liệu phục vụ thảo luận, tôi không muốn post trực tiếp lên MS vì quá nhiều file sẽ làm nặng MS.