Tag: Fermat

Định lý của Fermat về tổng của hai bình phương


Bài này tôi sẽ giới thiệu nhiều cách chứng minh cho ”Định lý của Fermat về tổng của hai bình phương”:

Định lý. Một số nguyên tố lẻ p biểu diễn được dưới dạng p=x^2+y^2(x,y\in\mathbb{Z}) khi và chỉ khi p\equiv 1\pmod{4}.

CHỨNG MINH CỦA EULER

Chứng minh này được Euler tìm ra năm 1747 , chứng minh theo 5 bước

1. Nếu x và y là tổng của hai bình phương thì xy cũng thế.

Kết quả này được suy từ đẳng thức Brahmagupta-Fibonacci: (m^2+n^2)(x^2+y^2)=(mx+ny)^2+(my-nx)^2.

2. Nếu a và p là tổng của hai bình phương và p|a thì \dfrac{a}{p} cũng là tổng của hai bình phương.

Gỉa sử a=m^2+n^2 và p=x^2+y^2 với m,n,x,y\in\mathbb{Z}. Ta có p chia hết m^2p-ax^2=(my-nx)(my+nx) nên không giảm tổng quát ta có thể xem là p|my-nx. Bây giờ từ ap=(my-nx)^2+(mx+ny)^2 suy ra p|mx+ny, chia hai vế của đẳng thức này cho p^2 ta có điều cần chứng minh.

3. Nếu a có thể viết như là tổng của hai bình phương, d không thể viết dưới dạng tổng hai bình phương và d|n thì \dfrac{n}{d} có ít nhất một ước không viết được dưới dạng tổng của hai bình phương.

Gỉa sử a=dp_1\cdots p_n, ở đây p_1,\cdots, p_n là các số nguyên tố không cần phải khác nhau. Nếu tất cả các p_i đều viết được dưới dạng tổng của hai bình phương thì bằng cách chia liên tiếp a cho các p_i và dùng bước 2 ta có d là tổng của hai bình phương, vô lí!

4. Nếu a và b là nguyên tố cùng nhau thì mỗi ước của a^2+b^2 là tổng của hai bình phương.

Gỉa sử x là một ước của a^2+b^2 , viết a=mx+c,b=nx+d với |c|,|d|\leq x/2, m,n,c,d\in\mathbb{Z}. Ta có a^2+b^2=Ax+(c^2+d^2), như thế c^2+d^2 chia hết cho x, viết c^2+d^2=yx, có thể xem \gcd (c,d)=1 vì ước nguyên tố chung nếu có của c và d không thể là ước của x. Nếu x không phải là tổng của hai bình phương và nó là số bé nhất có tính chất đó, theo bước 3 , y có một ước z không là tổng của hai bình phương, mà zx\leq yx=c^2+d^2\leq \dfrac{x^2}{2} , suy ra z<x, vô lí!

5. Mỗi số nguyên tố p có dạng 4n+1 đều là tổng của hai bình phương.

Theo Định lý Fermat nhỏ ta có i^{4n}\equiv 1\pmod{p}\forall i=1,2,\cdots,4n do đó các số i^{4n}-(i-1)^{4n}, i=2,\cdots, 4n đều chia hết cho p. Các số này được viết ở dạng (a^{2n}+b^{2n})(a^{2n}-b^{2n}). Nếu p là ước của một trong các thừa số đầu thì theo 4, p sẽ là tổng của hai bình phương. Nếu p là ước của tất cả các thừa số sau thì bằng cách áp dụng phép toán sai phân nhiều lần trên dãy đó ta sẽ có p|(2n)!, vô lí!