IMO2025/2

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 2 trong đề IMO 2025. Đề thi đầy đủ tôi đã đăng ở đây: https://nttuan.org/2025/07/01/imo-2025-problems-and-results/ . Không như nhiều bài thi IMO khác, bài toán này có hướng giải rõ ràng ngay từ đầu, theo tôi là vậy.

IMO2025/2. Cho $\Omega$ và $\Gamma$ là hai đường tròn có tâm lần lượt là $M$ và $N$ sao cho bán kính của $\Omega$ nhỏ hơn bán kính của $\Gamma$ . Giả sử $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ . Đường thẳng $MN$ cắt $\Omega$ tại $C$ và $\Gamma$ tại $D$ sao cho $C, M, N, D$ nằm trên $MN$ theo thứ tự đó. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ . Đường thẳng $AP$ cắt $\Omega$ lần nữa tại $E\neq A$ và cắt $\Gamma$ lần nữa tại $F\neq A$ . Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $PMN$ .

Chứng minh rằng đường thẳng qua $H$ song song với $AP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$ .

Lời giải. Gọi $T$ là điểm chính giữa của cung $EF$ không chứa $B$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$ . Bài toán sẽ được giải nếu ta chứng minh được $HT\parallel EF$ .

Ta có $\angle BEF = 2 \angle ACD$ và $\angle BFE= 2\angle ADC$ , suy ra $\angle CPD =\angle ETF$ . Từ đây ta chứng minh được $M$ , $E$ và $T$ là ba điểm thẳng hàng.

Vì $AB\bot CD$ và $P$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ nên $\angle CAB =\angle DAP$ , do đó hai đường thẳng $DF$ và $CA$ là hai đường thẳng song song. Bởi vậy, nếu gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $CB$ và $DF$ thì nó phải nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$ . Vì tam giác $XCD$ là tam giác cân tại $X$ và $PC=PD$ nên đường thẳng $PH$ đi qua $X$ .

Ta thấy $PN$ là đường trung trực của đoạn $AD$ và $P$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ nên

$\angle APN =\frac{1}{2} APD =\angle ACN,$

suy ra tứ giác $PCAN$ là một tứ giác nội tiếp. Từ đây ta có $\angle MTX =\angle MHX$ , do đó $MHTX$ cũng là một tứ giác nội tiếp. Vì hai tam giác $XBE$ và $PAC$ đồng dạng nên $XB=XE$ . Suy ra

$\angle BAP = \angle TMX=\angle THP,$

do đó $HT\parallel EF$ . $\Box$

IMO 2025: Problems and results

Olympic Toán học Quốc tế (IMO) 2025 là kỳ thi toán học danh giá nhất dành cho học sinh trung học, được tổ chức tại Sunshine Coast, Queensland, Australia từ ngày 10 đến 20 tháng 7 năm 2025. Đây là lần thứ 66 của cuộc thi, quy tụ các tài năng toán học trẻ từ hơn 100 quốc gia, tranh tài qua 6 bài toán khó trong các lĩnh vực như đại số, hình học, số học và tổ hợp. Việt Nam, với truyền thống thành tích ấn tượng tại IMO từ năm 1974, tiếp tục cử đội tuyển gồm 6 học sinh xuất sắc tham dự kỳ thi năm nay. Đội tuyển được lựa chọn qua Kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và Kỳ thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế, thể hiện sự chuẩn bị kỹ lưỡng của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Theo thông tin chính thức, danh sách đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2025 bao gồm:

Nguyễn Đình Tùng (lớp 11, Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội).
Trần Minh Hoàng (lớp 12, Trường THPT chuyên Hà Tĩnh).
Võ Trọng Khải (lớp 12, Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An).
Trương Thanh Xuân (lớp 11, Trường THPT chuyên Bắc Ninh) – nữ sinh duy nhất sau 5 năm.
Nguyễn Đăng Dũng (lớp 12, Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội).
Lê Phan Đức Mân (lớp 12, Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP. Hồ Chí Minh).

Đội tuyển được dẫn dắt bởi trưởng đoàn TS. Nguyễn Chu Gia Vượng, cựu thí sinh IMO 1993 (HCV) và 1994 (HCB), và phó đoàn TS. Lê Bá Khánh Trình, người từng giành giải đặc biệt tại IMO 1979. Cả hai đều là những chuyên gia dày dạn kinh nghiệm trong bồi dưỡng học sinh giỏi.

Dưới đây là đề thi và kết quả.

Đề thi:

2025_vie Download

Những bài toán này được thiết kế để thử thách các học sinh trung học hàng đầu thế giới, bao gồm các lĩnh vực cốt lõi của toán học trung học: đại số, hình học, lý thuyết số và tổ hợp.

Các bài toán IMO thường được thiết kế theo hướng tăng dần độ khó theo từng ngày, với Bài toán 1 (P1) và Bài toán 4 (P4) thường dễ tiếp cận nhất, Bài toán 2 (P2) và 5 (P5) có độ khó trung bình, và Bài toán 3 (P3) và 6 (P6) là khó nhất. Đối với IMO 2025, mô hình này dường như vẫn được duy trì dựa trên phản hồi từ AoPS, một diễn đàn nổi tiếng về toán Olympiad.

Kết quả của đội Việt Nam: 2 HCV, 3 HCB, và 1 HCĐ. Cụ thể: Khải và Hoàng đạt HCV; Dũng, Tùng và Mân đạt HCB; Xuân đạt HCĐ. Đội đứng thứ 9 về tổng điểm.

Các thí sinh có điểm cao nhất:

Em Khải góp mặt ở vị trí 8. 🙂 Có lẽ vì bài 2 và bài 3 quá dễ mà điểm để đạt HCV rất cao, 35 điểm!

10 đội có tổng điểm cao nhất:

Đội Việt Nam đứng thứ 9. 🙂

Kết thúc cuộc thi, BTC cũng vừa công bố IMO2024SL.

Từ Grok: Lời giới thiệu cho cuốn sách “The Bitcoin Standard”

Cuốn sách The Bitcoin Standard: The Decentralized Alternative to Central Banking (tạm dịch: Bitcoin: Giải pháp phi tập trung thay thế cho ngân hàng trung ương) của tác giả Saifedean Ammous là một tác phẩm đột phá, mang tính khai sáng về Bitcoin – không chỉ đơn thuần là một loại tiền kỹ thuật số, mà còn là một hiện tượng kinh tế, tài chính và triết học có khả năng thay đổi cách chúng ta hiểu về tiền tệ và quyền lực kinh tế. Được xuất bản lần đầu vào năm 2018, cuốn sách nhanh chóng trở thành một trong những tài liệu quan trọng nhất về Bitcoin, cung cấp một góc nhìn sâu sắc về lịch sử tiền tệ, vai trò của tiền trong xã hội, và tiềm năng của Bitcoin trong việc định hình tương lai tài chính toàn cầu. Với lối viết rõ ràng, lập luận chặt chẽ và nền tảng học thuật vững chắc, Ammous đã tạo nên một tác phẩm không chỉ dành cho những người đam mê tiền mã hóa mà còn cho bất kỳ ai quan tâm đến kinh tế, lịch sử và tự do cá nhân.

1. Bối cảnh lịch sử và ý nghĩa của tiền tệ

The Bitcoin Standard mở đầu bằng việc dẫn dắt người đọc qua hành trình lịch sử của tiền tệ, từ những hình thức sơ khai như vỏ sò, đá quý, đến vàng và cuối cùng là tiền pháp định (fiat) hiện nay. Ammous phân tích cách các nền văn minh đã phát triển các hình thức tiền tệ để đáp ứng nhu cầu trao đổi và lưu trữ giá trị, nhấn mạnh vai trò của “tiền cứng” (sound money) – tức là loại tiền có giá trị nội tại, khó bị thao túng và không dễ bị mất giá qua thời gian. Ông lập luận rằng vàng, với tính chất khan hiếm và bền vững, từng là tiêu chuẩn lý tưởng cho tiền tệ, giúp duy trì sự ổn định kinh tế và hạn chế sự can thiệp của chính phủ.

Tuy nhiên, với sự ra đời của tiền pháp định và việc các ngân hàng trung ương kiểm soát nguồn cung tiền, thế giới đã chứng kiến lạm phát, bất ổn tài chính và sự suy giảm giá trị của tiền tệ. Ammous chỉ trích hệ thống tài chính hiện tại, cho rằng nó trao quyền quá lớn cho các chính phủ và ngân hàng trung ương, dẫn đến các chu kỳ bùng nổ và suy thoái kinh tế, cũng như sự bất bình đẳng ngày càng gia tăng. Trong bối cảnh đó, Bitcoin xuất hiện như một giải pháp phi tập trung, thách thức quyền lực của các tổ chức tài chính truyền thống.

Continue reading →