IMO Shortlist 2023: Geometry

G1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359760p31218557

Cho $ABCDE$ là một ngũ giác lồi thỏa mãn $\angle ABC = \angle AED = 90^\circ.$ Giả sử trung điểm của $CD$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$ . Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ . Chứng minh rằng đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BE$ .

G2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359729p31218382

Cho tam giác $ABC$ với $AC > BC$ . Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ , và $r$ là bán kính của nó. Điểm $P$ được chọn trên ${AC}$ sao cho $BC=CP,$ và điểm $S$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống ${AB}$ . Tia $BP$ cắt lại $\omega$ tại $D$ . Điểm $Q$ được chọn trên đường thẳng $SP$ sao cho $PQ = r$ và $S$ , $P$ , $Q$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Cuối cùng, gọi $E$ là một điểm thỏa mãn ${AE} \perp {CQ}$ và ${BE} \perp {DQ}$ . Chứng minh rằng $E$ nằm trên $\omega$ .

G3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359737p31218405

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ với $\angle BAD < \angle ADC$ . Gọi $M$ là trung điểm của cung $CD$ không chứa $A$ . Giả sử có một điểm $P$ nằm trong $ABCD$ sao cho $\angle ADB = \angle CPD$ và $\angle ADP = \angle PCB$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $AD$ , $PM$ , và $BC$ đồng quy.

G4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106748p28097552

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB<AC$ . Gọi $S$ là điểm chính giữa của cung $BC$ chứa $A$ của $(ABC)$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ cắt $BS$ tại $D$ và cắt lại $(ABC)$ tại $E$ . Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $BE$ tại $L$ . $(BDL)$ cắt lại $(ABC)$ tại $P$ . Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(BDL)$ tại $P$ cắt $BS$ trên phân giác của góc $BAC$ . (IMO2023/2)

G5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359731p31218385

Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ có tâm là $O$ . Các điểm $D\neq B$ và $E\neq C$ nằm trên $\omega$ sao cho $BD\perp AC$ và $CE\perp AB$ . Giả sử $CO$ cắt $AB$ tại $X$ , và $BO$ cắt $AC$ tại $Y$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BXD$ và $CYE$ cùng đi qua một điểm thuộc đường thẳng $AO$ .

G6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359733p31218391

Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ . Một đường tròn $\Gamma$ tiếp xúc trong với $\omega$ tại $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $D$ . Các đường thẳng $AB$ và $AC$ cắt $\Gamma$ lần lượt tại $P$ và $Q$ . Gọi $M$ và $N$ là các điểm nằm trên $BC$ sao cho $B$ là trung điểm của $DM$ và $C$ là trung điểm của $DN$ . Các đường thẳng $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại $K$ , và cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $I$ và $J$ . Tia $KA$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IJK$ tại $X\neq K$ . Chứng minh rằng $\angle BXP = \angle CXQ$ .

G7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359736p31218400

Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$ . Gọi $\ell_a$ là đường thẳng đi qua điểm đối xứng với $B$ qua $CH$ và điểm đối xứng với $C$ qua $BH$ . Các đường thẳng $\ell_b$ và $\ell_c$ được xác định tương tự. Giả sử ba đường thẳng $\ell_a$ , $\ell_b$ , và $\ell_c$ xác định một tam giác $\mathcal T$ . Chứng minh rằng trực tâm của $\mathcal T$ , tâm đường tròn ngoại tiếp của $\mathcal T$ , và $H$ thẳng hàng.

G8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107345p28104331

Cho $ABC$ là một tam giác đều. Gọi $A_1,B_1,C_1$ là các điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , và

$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ.$

Giả sử $BC_1$ và $CB_1$ cắt nhau tại $A_2,$ $CA_1$ và $AC_1$ cắt nhau tại $B_2$ , $AB_1$ và $BA_1$ cắt nhau tại $C_2.$ Chứng minh rằng nếu tam giác $A_1B_1C_1$ là tam giác không cân thì ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1A_2, BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ đi qua hai điểm chung. (IMO2023/6)

IMO Shortlist 2022: Number theory

N1. Một số nguyên dương được gọi là số Na Uy nếu nó có ba ước dương phân biệt có tổng bằng $2022$ . Xác định số Na Uy nhỏ nhất.

N2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n>2$ sao cho

$\displaystyle n! \mid \prod_{ p<q\le n,\quad p,q\in\mathbb{P}} (p+q).$

N3. Cho $a > 1$ là một số nguyên dương và $d > 1$ là một số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $a$ . Đặt $x_1=1$ và với $k\geq 1$ , $x_{k+1} = x_k + d$ nếu không chia hết $x_k$ , $=x_k/a$ nếu $a$ chia hết $x_k$ . Tìm, theo $a$ và $d$ , số nguyên dương $n$ lớn nhất mà tồn tại chỉ số $k$ sao cho $x_k$ chia hết cho $a^n$ .

N4. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,b,p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố và $a^p=b!+p.$

(IMO2022/5)

N5. Đối với mỗi $i\in [9]$ và $T\in\mathbb{N}^*$ , ký hiệu $d_i(T)$ là số lần chữ số $i$ xuất hiện khi tất cả các bội của $1829$ trong $[T]$ được viết ra theo cơ số $10$ . Chứng minh rằng có vô số $T\in\mathbb{N}^*$ sao cho có đúng hai giá trị phân biệt trong các số $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

N6. Cho $Q$ là một tập hợp không nhất thiết hữu hạn các số nguyên tố. Đối với một số nguyên dương $n$ , xét phân tích ra thừa số nguyên tố của nó: gọi $p(n)$ là tổng của tất cả các số mũ và $q(n)$ là tổng của các số mũ tương ứng với các số nguyên tố trong $Q$ . Số nguyên dương $n$ được gọi là đặc biệt nếu $p(n)+p(n+1)$ và $q(n)+q(n+1)$ đều là số nguyên chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $c>0$ không phụ thuộc $Q$ sao cho với mọi số nguyên dương $N>100$ , số các số nguyên đặc biệt trong $[N]$ ít nhất là $cN$ .

N7. Gọi $k$ là một số nguyên dương và $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng có nhiều nhất một cách (sai khác phép quay và đối xứng) để đặt các phần tử của $S$ xung quanh một đường tròn sao cho tích của hai số cạnh nhau bất kỳ có dạng $x^2+x+k$ với một số nguyên dương $x$ .

(IMO2022/3)

N8. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ , số $5^n-3^n$ không chia hết cho số $2^n+65$ .

—

Các phần khác đã được đăng ở

Đại số: https://nttuan.org/2024/05/06/isl2022-algebra/

Hình học: https://nttuan.org/2023/09/08/isl2022-geometry/

Tổ hợp: https://nttuan.org/2023/09/29/isl2022-combinatorics/

Bản pdf của IMO SL từ 2014 đến 2021: https://nttuan.org/2023/07/02/isl/

Sau khi sửa một vài chỗ, bản pdf của IMO SL 2022 sẽ được đăng trong link trên.

IMO Shortlist 2022: Algebra

Trong bài này tôi sẽ dịch phần Đại số trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/.

Các phần khác trong cuốn IMO Shortlist 2022 tôi đã để ở các bài dưới đây:

Hình học https://nttuan.org/2023/09/08/isl2022-geometry/

Tổ hợp https://nttuan.org/2023/09/29/isl2022-combinatorics/

A1. Cho $(a_n)_{n\geq 1}$ là một dãy số thực dương có tính chất $(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$ với mọi số nguyên dương $n$ . Chứng minh rằng $a_{2022}\leq 1.$

A2. Cho một số nguyên $k\ge2$ . Tìm số nguyên $n \ge k+1$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập $n$ số thực có tính chất: mỗi phần tử của nó có thể viết được dưới dạng tổng của $k$ phần tử phân biệt khác của tập hợp.

A3. Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ sao cho với mỗi $x \in \mathbb{R}^+$ , có đúng một $y \in \mathbb {R}^+$ thỏa mãn $xf(y)+yf(x) \leq 2$ . (IMO2022/2)

A4. Gọi $n \geqslant 3$ là một số nguyên và $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực trong đoạn $[0,1]$ . Đặt $s=x_1+x_2+\ldots+x_n$ và giả sử rằng $s \geqslant 3$ . Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $i$ và $j$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ sao cho $2^{j-i}x_ix_j>2^{s-3}.$

A5. Tìm tất cả các số nguyên dương $n \geqslant 2$ sao cho tồn tại $n$ số thực $a_1<\cdots<a_n$ và số thực $r>0$ để $\frac{1}{2}n( n-1)$ hiệu $a_j-a_i$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ bằng, theo một thứ tự nào đấy, các số $r^1,r^2,\ldots,r^{\frac{ 1}{2}n(n-1)}$ .

A6. Chúng ta nói rằng một hàm $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ là tốt nếu $f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb R$ . Tìm tất cả các số hữu tỉ $q$ sao cho với mọi hàm tốt $f$ , tồn tại một số thực $z$ sao cho $f(z) = qz$ .

A7. Với số nguyên dương $m$ , ký hiệu $s(m)$ là tổng các chữ số của $m$ trong hệ thập phân. Gọi $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ là một đa thức, trong đó $n \geqslant 2$ và $a_i$ là một số nguyên dương với mọi $0 \leqslant i \leqslant n-1$ . Có thể xảy ra với mỗi số nguyên dương $k$ , $s(k)$ và $s(P(k))$ có cùng tính chẵn – lẻ?

A8. Với số nguyên dương $n$ , một $n$ -dãy là một dãy $(a_0,\ldots,a_n)$ gồm các số nguyên không âm có tính chất: nếu $i$ và $j$ là các số nguyên không âm với $i+j \leqslant n$ , thì $a_i+a_j \leqslant n$ và $a_{a_i+a_j}=a_{i+j}$ . Gọi $f(n)$ là số $n$ -dãy. Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương $c_1$ , $c_2$ và $\lambda$ sao cho $c_1\lambda^n<f(n)<c_2\lambda^n$ với mọi số nguyên dương $n$ .

IMO2022SL/G7: Euler line

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một số lời giải của bài toán G7 trong cuốn IMO 2022: Shortlisted Problems.

IMO2022SL/G7. Hai tam giác $ABC, A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ có cùng trực tâm $H$ và cùng đường tròn ngoại tiếp có tâm $O$ . Gọi $PQR$ là tam giác tạo bởi $AA^{\prime}$ , $BB^{\prime}$ và $CC^{\prime}$ , chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $PQR$ nằm trên $OH$ .

IMO Shortlist 2022: Combinatorics

Trong bài này tôi sẽ dịch phần Tổ hợp trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/.

Phần Hình của năm 2022 tôi đã dịch ở đây

IMO Shortlist 2022: Geometry

C1. Một $\pm 1$ -dãy là một dãy gồm $2022$ số $a_1, \ldots, a_{2022},$ mỗi số bằng $+1$ hoặc $-1$ . Tìm số $C$ lớn nhất sao cho, đối với bất kỳ dãy $\pm 1$ nào, tồn tại một số nguyên $k$ và các chỉ số $1 \le t_1 < \ldots < t_k \le 2022$ để $t_{i+1} - t_i \le 2$ với mọi $i$ , và $\displaystyle \left| \sum_{i=1}^{k} a_{t_i} \right| \ge C.$

C2. Ngân hàng Oslo phát hành hai loại tiền xu: nhôm (ký hiệu là $A$ ) và đồng (ký hiệu là $B$ ). Alpha có $n$ đồng xu nhôm và $n$ đồng xu đồng được sắp xếp thành một hàng theo thứ tự ban đầu tùy ý. Một chuỗi là bất kỳ dãy con nào các đồng xu liên tiếp có cùng loại. Cho một số nguyên dương cố định $k \leq 2n$ , Beta lặp đi lặp lại thao tác sau: anh ta xác định chuỗi dài nhất chứa đồng xu thứ $k$ từ bên trái và di chuyển tất cả đồng xu trong chuỗi đó sang đầu bên trái của hàng. Ví dụ: nếu $n=4$ và $k=4$ , quá trình bắt đầu từ $AABBBABA$ sẽ là

$AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to ...$

Tìm tất cả các cặp $(n,k)$ với $1 \leq k \leq 2n$ sao cho với mỗi cách xếp các đồng xu lúc đầu, tại một thời điểm nào đó trong quá trình, $n$ đồng xu ngoài cùng bên trái có cùng loại.

C3. Trong mỗi ô vuông của một khu vườn có dạng bảng ô vuông cỡ $2022 \times 2022$ , ban đầu có một cái cây cao $0$ . Một người làm vườn và một thợ đốn gỗ thay phiên nhau chơi trò chơi sau, người làm vườn sẽ chơi ở lượt đầu tiên:

(1) Người làm vườn chọn một ô vuông trong vườn. Sau đó mỗi cây trên ô vuông đó và tất cả các ô vuông xung quanh trở thành cao hơn một đơn vị.

(2) Người thợ đốn gõ chọn bốn ô vuông khác nhau trong vườn. Sau đó mỗi cây có chiều cao dương trên các ô vuông đó sẽ trở thành thấp hơn một đơn vị.

Ta nói rằng một cái cây là hùng vĩ nếu chiều cao của nó ít nhất là $10^6$ . Tìm số $K$ lớn nhất sao cho người làm vườn có thể đảm bảo cuối cùng sẽ có $K$ cây hùng vĩ trong vườn, bất kể người thợ đốn gỗ chơi như thế nào.

C4. Cho một số nguyên $n > 3$ . Giả sử rằng $n$ đứa bé được sắp xếp thành một vòng tròn và $n$ đồng xu được phân phát cho chúng (một số bé có thể không có đồng xu nào). Ở mỗi bước, bé có ít nhất $2$ đồng xu có thể đưa $1$ đồng xu cho mỗi bé ngay bên phải và bên trái của mình. Hãy tìm tất cả các cách phân phát các đồng xu ban đầu sao cho sau một số hữu hạn bước, mỗi bé có đúng một đồng xu.

C5. Cho $m,n \geqslant 2$ là các số nguyên, $X$ là một tập hợp có $n$ phần tử, và $X_1$ , $X_2$ , $\ldots$ , $X_m$ là các tập hợp con khác rỗng phân biệt của $X$ . Một hàm $f \colon X \to \{1,2,\ldots,n+1\}$ được gọi là tốt nếu tồn tại một chỉ số $k$ sao cho $\displaystyle\sum_{x \in X_k} f(x )>\sum_{x \in X_i} f(x), \quad \forall i \ne k.$ Chứng minh rằng số hàm tốt ít nhất là $n^n$ .

C6. Cho $n$ là một số nguyên dương. Chúng ta bắt đầu với $n$ đống sỏi, mỗi đống ban đầu chỉ chứa một viên sỏi. Người ta có thể thực hiện các bước di chuyển theo hình thức sau: chọn hai đống, lấy một số viên sỏi bằng nhau từ mỗi đống và tạo thành một đống mới từ những viên sỏi này. Tìm, theo $n$ , số nhỏ nhất các đống sỏi khác rỗng mà một người có thể thu được bằng cách thực hiện một dãy hữu hạn các bước di chuyển có dạng này.

C7. Lucy bắt đầu bằng cách viết $s$ bộ $2022$ số nguyên lên bảng đen. Sau khi làm điều đó, cô ấy có thể lấy hai bộ bất kỳ (không nhất thiết phải khác nhau) $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ và $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{ 2022})$ mà cô ấy đã viết và áp dụng một trong các thao tác sau để lấy bộ mới:

$\mathbf{v}+\mathbf{w}=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022})$

$\mathbf{v} \lor \mathbf{w}=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022}))$

rồi viết bộ này lên bảng. Sau hữu hạn bước, theo cách này, Lucy có thể viết bất kỳ bộ $2022$ số nguyên nào lên bảng. Số $s$ nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?

C8. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hình vuông Bắc Âu là một bảng ô vuông $n \times n$ chứa tất cả các số nguyên từ $1$ đến $n^2$ sao cho mỗi ô chứa đúng một số. Hai ô khác nhau được gọi là kề nếu chúng có chung một cạnh. Mỗi ô chỉ kề với các ô chứa số lớn hơn được gọi là thung lũng. Đường lên dốc là một dãy gồm một hoặc nhiều ô sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

(i) ô đầu tiên trong dãy là một thung lũng,

(ii) mỗi ô tiếp theo trong dãy kề với ô trước đó,

(iii) các số trên các ô trong dãy lập thành một dãy tăng theo thứ tự.

Tìm, theo $n$ , số nhỏ nhất đường lên dốc có thể có trong một hình vuông Bắc Âu.

C9. Xét các song ánh $f:\mathbb N\times \mathbb N \to \mathbb N$ có tính chất: mỗi khi $f(x_1,y_1) > f(x_2, y_2)$ , thì $f(x_1+1, y_1) > f(x_2 + 1, y_2)$ và $f(x_1, y_1+1) > f(x_2, y_2+1)$ . Gọi $k$ là số cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $0\le x,y<100$ và $f(x,y)$ is số nguyên lẻ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $k$ .