Algebraic number

Các em học sinh hãy chứng minh các khẳng định trong bài ngắn dưới đây. Tài liệu tham khảo là

Một số phức $\alpha$ được gọi là một số đại số nếu có đa thức $f(x)$ khác đa thức không có hệ số trong $\mathbb{Q}$ nhận $\alpha$ làm nghiệm. Một số đại số được gọi là số nguyên đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức có hệ số nguyên với hệ số cao nhất bằng $1$ .

$\sqrt[3]{2}$ và $i$ là các số đại số. Số $\frac{1}{2}$ là một số đại số nhưng không phải số nguyên đại số. Những số phức không phải là số đại số sẽ được gọi là các số siêu việt. Người ta chứng minh được $e$ và $\pi$ là các số siêu việt.

Cho một số đại số $\alpha$ . Đa thức tối tiểu của $\alpha$ là đa thức khác không $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ có bậc nhỏ nhất thỏa mãn

hệ số cao nhất của $f$ bằng $1$ , và
$\alpha$ là một nghiệm của $f$ .

Định lí 1. Đa thức tối tiểu là tồn tại và duy nhất với mỗi số đại số.

Định lí 2. Cho số đại số $\alpha$ . Khi đó

Đa thức tối tiểu của $\alpha$ là bất khả quy trên $\mathbb{Q}$ .
Nếu $g\in\mathbb{Q}[x]$ thì $\alpha$ là nghiệm của $g$ khi và chỉ khi $g$ chia hết cho đa thức tối tiểu của $\alpha$ .
Nếu đa thức tối tiểu của $\alpha$ có bậc $n$ thì với mỗi đa thức $f$ với hệ số hữu tỷ, tồn tại đa thức $g$ có bậc bé hơn $n$ với hệ số hữu tỷ sao cho $f(\alpha)=g(\alpha)$ .

Bài 1. Chứng minh rằng $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ là một số đại số và tìm đa thức tối tiểu của nó.

Bài 2. Cho $p(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn $p(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0$ . Chứng minh rằng $p(\sqrt{2}-\sqrt{3})=0$ .

Định lí 3. Nếu $\alpha$ và $\beta$ là các số đại số (nguyên đại số) thì $\alpha\pm\beta$ và $\alpha\beta$ cũng là các số đại số (nguyên đại số). Nếu $\alpha\not=0$ là một số đại số thì $1/\alpha$ cũng là một số đại số.

Khẳng định thứ hai không đúng đối với các số nguyên đại số.

Bài 3. Số $\sqrt {1001^2 + 1} + \sqrt {1002^2 + 1} + \cdots + \sqrt {2000^2 + 1}$ có phải là số hữu tỷ hay không?

IMO Shortlist 2022: Algebra

Trong bài này tôi sẽ dịch phần Đại số trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/.

Các phần khác trong cuốn IMO Shortlist 2022 tôi đã để ở các bài dưới đây:

Hình học https://nttuan.org/2023/09/08/isl2022-geometry/

Tổ hợp https://nttuan.org/2023/09/29/isl2022-combinatorics/

A1. Cho $(a_n)_{n\geq 1}$ là một dãy số thực dương có tính chất $(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$ với mọi số nguyên dương $n$ . Chứng minh rằng $a_{2022}\leq 1.$

A2. Cho một số nguyên $k\ge2$ . Tìm số nguyên $n \ge k+1$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập $n$ số thực có tính chất: mỗi phần tử của nó có thể viết được dưới dạng tổng của $k$ phần tử phân biệt khác của tập hợp.

A3. Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ sao cho với mỗi $x \in \mathbb{R}^+$ , có đúng một $y \in \mathbb {R}^+$ thỏa mãn $xf(y)+yf(x) \leq 2$ . (IMO2022/2)

A4. Gọi $n \geqslant 3$ là một số nguyên và $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực trong đoạn $[0,1]$ . Đặt $s=x_1+x_2+\ldots+x_n$ và giả sử rằng $s \geqslant 3$ . Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $i$ và $j$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ sao cho $2^{j-i}x_ix_j>2^{s-3}.$

A5. Tìm tất cả các số nguyên dương $n \geqslant 2$ sao cho tồn tại $n$ số thực $a_1<\cdots<a_n$ và số thực $r>0$ để $\frac{1}{2}n( n-1)$ hiệu $a_j-a_i$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ bằng, theo một thứ tự nào đấy, các số $r^1,r^2,\ldots,r^{\frac{ 1}{2}n(n-1)}$ .

A6. Chúng ta nói rằng một hàm $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ là tốt nếu $f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb R$ . Tìm tất cả các số hữu tỉ $q$ sao cho với mọi hàm tốt $f$ , tồn tại một số thực $z$ sao cho $f(z) = qz$ .

A7. Với số nguyên dương $m$ , ký hiệu $s(m)$ là tổng các chữ số của $m$ trong hệ thập phân. Gọi $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ là một đa thức, trong đó $n \geqslant 2$ và $a_i$ là một số nguyên dương với mọi $0 \leqslant i \leqslant n-1$ . Có thể xảy ra với mỗi số nguyên dương $k$ , $s(k)$ và $s(P(k))$ có cùng tính chẵn – lẻ?

A8. Với số nguyên dương $n$ , một $n$ -dãy là một dãy $(a_0,\ldots,a_n)$ gồm các số nguyên không âm có tính chất: nếu $i$ và $j$ là các số nguyên không âm với $i+j \leqslant n$ , thì $a_i+a_j \leqslant n$ và $a_{a_i+a_j}=a_{i+j}$ . Gọi $f(n)$ là số $n$ -dãy. Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương $c_1$ , $c_2$ và $\lambda$ sao cho $c_1\lambda^n<f(n)<c_2\lambda^n$ với mọi số nguyên dương $n$ .

International Mathematical Olympiad: Shortlisted Problems

Trong bài này chúng tôi sẽ dịch đề bài từ các bộ IMO Shortlist sang tiếng Việt.

Các bạn có thể tải các tài liệu khác ở https://nttuan.org/download/ .

IMO2014SL_Vie Download

IMO2015SL_Vie Download

Continue reading →

Square roots are linearly independent

Trong bài này tôi giới thiệu nhiều lời giải cho bài toán quan trọng sau:

Bài toán. Cho $a_1,\ldots,a_k$ là các số nguyên không đồng thời bằng $0$ . Chứng minh rằng nếu $n_1,$ $n_2,\ldots,$ $n_k$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau và không có ước chính phương lớn hơn $1$ thì $\sum a_i\sqrt{n_i}\not=0$ .

Lời giải 1. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $N$ , số ước nguyên tố của $\prod n_i$ , khẳng định: Tồn tại tổng $S'=\sum b_i\sqrt{m_i}$ sao cho $SS'$ là số nguyên khác $0$ , ở đây $m_i$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau và không có ước chính phương khác $1$ , tập các ước nguyên tố của $\prod m_i$ là tập con của tập các ước nguyên tố của $\prod n_i$ , $b_i$ là các số nguyên, và $S=\sum a_i\sqrt{n_i}$ . Từ đó suy ra $S\not=0$ .