Limit of a sequence

Giải tích thực là một nhánh của giải tích toán học nghiên cứu dáng điệu của dãy thực, chuỗi thực, và hàm giá trị thực. Một khái niệm trung tâm của giải tích thực là dãy hội tụ.

Định nghĩa 1. Một dãy số thực hội tụ đến một số thực , hay là một giới hạn của dãy số nếu với mỗi số thực dương , tồn tại số nguyên dương sao cho mỗi khi ta có . Nếu một dãy số có một giới hạn ta nói nó là dãy hội tụ, nếu nó không có giới hạn, ta nói nó là dãy phân kỳ.

Để chỉ hội tụ đến , ta viết hoặc . Ký hiệu cũng hay được dùng. Định nghĩa trên có thể gây rối đối với những bạn mới học giải tích, sau đây chúng tôi giới thiệu một định nghĩa khác, hình học hơn. Để làm điều này ta cần đến:

Định nghĩa 2. Cho số thực và số thực , tập

được gọi là -lân cận của .

Để ý rằng gồm tất cả các điểm trên trục số cách điểm một khoảng bé hơn . Nói cách khác, là một khoảng có tâm tại và bán kính .

Định nghĩa 3. Một dãy số thực hội tụ đến một số thực , hay là một giới hạn của dãy số nếu với mỗi -lân cận của có một vị trí trong dãy mà từ đó trở đi, mọi số hạng của dãy đều thuộc Nói cách khác, mỗi -lân cận của đều chứa hầu hết (chỉ trừ một số hữu hạn) các số hạng của dãy

Số nói chung phụ thuộc vào Khi càng nhỏ có thể càng lớn. Định nghĩa giới hạn của một dãy số thực được sử dụng để kiểm tra xem một số thực có là giới hạn của dãy hay không, nó không cho ta cách xác định giới hạn của dãy.

Ví dụ 1. Với mọi số thực dãy hằng hội tụ đến

Lời giải. Xét một số thực . Ta phải chứng minh , trong đó là dãy số xác định bởi với mọi số nguyên dương . Với một số thực dương bất kỳ, chọn , ta có Từ đây ta có điều cần chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng

Lời giải. Ta phải chứng minh , trong đó là dãy số xác định bởi với mọi số nguyên dương . Với một số thực dương bất kỳ, chọn , ta có Từ đây ta có điều cần chứng minh.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng

Lời giải. Ta phải chứng minh , trong đó là dãy số xác định bởi với mọi số nguyên dương . Với một số thực dương bất kỳ, chọn , ta có Từ đây ta có điều cần chứng minh.

Định lí 1. Một dãy số thực có nhiều nhất một giới hạn.

Chứng minh. Giả sử hai số thực và đều là giới hạn của dãy số thực Với mỗi tồn tại sao cho với mọi và tồn tại sao cho với mọi Gọi là số lớn trong hai số và . Khi đó với ta có

Vì là số dương bất kỳ nên .

Kết quả sau được dùng nhiều trong các bài thi Olympic toán.

Bổ đề. Cho là một dãy số nguyên có giới hạn . Khi đó là số nguyên và tồn tại số nguyên dương để với mọi .

Chứng minh. Gọi là lân cận của . Vì nên kể từ lúc nào đó trở đi, các số hạng của dãy đều thuộc . Để ý thêm chứa nhiều nhất số nguyên và dãy là một dãy số nguyên, ta có điều phải chứng minh.

Tính hội tụ hay phân kỳ của dãy số không bị ảnh hưởng nếu ta bỏ đi hữu hạn số hạng đầu của dãy số đó.

Định lí 2. Cho là một dãy các số thực và là một số nguyên dương. Xét dãy số xác định bởi với mọi số nguyên dương nghĩa là nó hình thành từ việc bỏ đi số hạng đầu của dãy Khi đó dãy số hội tụ khi và chỉ khi dãy số hội tụ. Trong trường hợp này,

Chứng minh. Bạn đọc tự chứng minh xem như bài tập.

Ta kết thúc bài này với một điều kiện cần để dãy số hội tụ, trong các tiết sau chúng tôi sẽ giới thiệu các điều kiện đủ.

Định lí 3. Một dãy các số thực hội tụ là một dãy bị chặn.

Chứng minh. Giả sử   Khi đó tồn tại số nguyên dương sao cho với mọi Do đó với ta có

Từ đây nếu đặt thì với mọi số nguyên dương , suy ra dãy là một dãy bị chặn.

Ví dụ 4. Dãy số là dãy số bị chặn nhưng phân kỳ. Dãy số phân kỳ vì nó không bị chặn.

---

Do khuôn khổ của một bài viết trên blog nên tôi không cho thêm các ví dụ và bài tập liên quan đến Toán Olympic, tôi sẽ làm việc này vào một dịp khác. Bài viết cũng là tài liệu tự đọc cho các bạn học sinh lớp 10 đang theo học tại .