Đếm bằng truy hồi (1)


C1. Cho số nguyên n>1. Hãy tìm số các hoán vị (a_1,a_2,\cdots,a_n) của \{1,2,\cdots,n\} sao cho tồn tại duy nhất i để a_i>a_{i+1}.

C2. Cho n>1 là một số nguyên dương. Tìm số các tập con của \{1,2,\cdots,n\} sao cho trong mỗi tập con có ít nhất hai phần tử là hai số nguyên liên tiếp.

C3. Cho n>1 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách phát đề sao cho hai thí sinh ngồi cạnh nhau luôn có đề khác nhau, biết rằng trong ngân hàng đề có đúng m>1 đề và mỗi đề có nhiều bản.

C4. Cho một mặt cầu. Một đường tròn lớn của mặt cầu là đường tròn nằm trong một mặt phẳng đi qua tâm của cầu và nằm trên mặt cầu. 5 đường tròn lớn khác nhau chia mặt cầu thành n phần. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của n.

C5. Một tập hữu hạn các số nguyên dương được gọi là tốt nếu mỗi phần tử của nó ít nhất bằng số phần tử của nó. (Tập rỗng cũng được xem là tốt) Gọi a_n là số tập con tốt của [n] mà không chứa hai số liên tiếp, và b_n là số các tập con của [n] mà hai phần tử bất kì khác nhau ít nhất 3. Chứng minh rằng a_n=b_n với mỗi n\geq 0.

C6. Sử dụng các chữ số 0,1,2,3,4 ta có thể lập bao nhiêu dãy 10 chữ số sao cho hay chữ số cạnh nhau vênh nhau 1?

C7. Gọi A_n là kí hiệu tập các đoạn mã độ dài n hình thành bởi sử dụng các chữ a,b,c sao cho không có các chữ a hay b đứng cạnh nhau. B_n là tập các đoạn mã độ dài n hình thành từ các chữ a,b,c sao cho không có 3 chữ phân biệt đứng cạnh nhau. Chứng minh rằng |B_{n+1}|=3|A_n|\forall n\geq 1.

Continue reading “Đếm bằng truy hồi (1)”

Bài tập đại số (1)


A1. Cho f(x) là một hàm số xác định trên \mathbb{R}f(\tan x)=\sin 2x\,\,\forall x\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(\sin^3x)f(\cos^3x).

A2. Cho hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

1/. |f(x)|\leq 1\,\,\forall x\in\mathbb{R}

2/. f\left(x+\dfrac{13}{42}\right)+f(x)=f\left(x+\dfrac{1}{6}\right)+ f\left(x+\dfrac{1}{7}\right)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Chứng minh rằng f là hàm số tuần hoàn.

A3. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} sao cho

xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2)\,\,\forall x,y\in\mathbb{N}.

A4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

A5. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(f(x-y))=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

A6. Cho dãy (a_n) xác định bởi a_1=5

a_{n+1}=a_n^3-2a_n^2+2\,\,\forall n\geq 1.

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thỏa mãn 4|p-3p|a_{2011}+1 thì p=3.

A7. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a^2+b^2+c^2 \geq 3.

Chứng minh rằng \dfrac{(a+1)(b+2)}{(b+1)(b+5)} + \dfrac{(b+1)(c+2)}{(c+1)(c+5)}+\dfrac{(c+1)(a+2)}{(a+1)(a+5)} \geq \dfrac{3}{2}.

A8. Kí hiệu S là tập tất cả các số hữu tỷ dương. Tìm tất cả f:S \to S thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

f \left( \dfrac{x}{x+1}\right) = \dfrac{f(x)}{x+1}

f \left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f(x)}{x^3} với mỗi x \in S.

A9. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại C_1,A_1,B_1. Chứng minh rằng

\sqrt {\dfrac {AB_1}{AB}} + \sqrt {\dfrac {BC_1}{BC}} + \sqrt {\dfrac {CA_1}{CA}}\leq\dfrac {3}{\sqrt {2}}.

Continue reading “Bài tập đại số (1)”