Month: August 2011

An Elementary Proof of the Gauss–Lucas Theorem


Các bạn xem lại bài sau để theo dõi cho dễ https://nttuan.org/2007/10/26/poly01/

Định lý Gauss–Lucas. Cho đa thức khác hằng P\in\mathbb{C}[z]. Chứng minh rằng mọi nghiệm phức của đạo hàm hình thức P' đều nằm trong bao lồi của tập hợp các nghiệm phức của P.

Chứng minh. Đặt n=\deg P và gọi z_1,\ldots,z_n là các nghiệm của P (kể cả bội). Khi đó

\displaystyle P(z)=c\prod_{i=1}^{n}(z-z_i),\qquad c\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.

Lấy w\in\mathbb{C} sao cho P'(w)=0. Nếu P(w)=0 thì w thuộc tập nghiệm của P, nên hiển nhiên nằm trong bao lồi của tập này.

Xét trường hợp P(w)\ne0. Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích rồi chia cho P(w), ta được

\displaystyle 0=\frac{P'(w)}{P(w)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{w-z_i}.

Lấy liên hợp hai vế, suy ra

\displaystyle 0=\sum_{i=1}^{n}\frac{w-z_i}{|w-z_i|^2}=w\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{|w-z_i|^2}-\sum_{i=1}^{n}\frac{z_i}{|w-z_i|^2}.

Do đó

\displaystyle w=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i,

trong đó

\displaystyle \lambda_i=\frac{|w-z_i|^{-2}}{\sum_{j=1}^{n}|w-z_j|^{-2}}\quad(1\le i\le n).

Các hệ số \lambda_i đều dương và có tổng bằng 1. Vì vậy, w là một tổ hợp lồi của z_1,\ldots,z_n, nên nằm trong bao lồi của tập nghiệm của P. \Box