Người dịch: Nguyễn Trung Tuân
Tặng Thầy nhân dịp 20-11-2007
Trong năm 1961, Erdos, Ginzburg, và Ziv [3] đã tìm ra định lý nổi tiếng sau đây, bây giờ nó là trung tâm của các bài toán tổng( về các bài toán này các bạn có thể tìm trong [1],[2] và [5]).
Định lý EGZ. Giả sử là một số nguyên dương. Khi đó với mỗi dãy
gồm
số nguyên có một dãy con
độ dài
sao cho tổng
chia hết cho
.
Dễ kiểm tra thấy rằng định lý EGZ là nhân tính, nghĩa là, nếu mệnh đề đúng với n=k và n=l thì nó cũng đúng với n=kl. Do đó chỉ cần chứng minh định lý đúng với n nguyên tố là đủ. Trong các chứng minh cổ điển của định lý, trường hợp n nguyên tố thường có được từ định lý Cauchy-Davenport hoặc định lý Chevalley-Waring (xem [6]). Tuy nhiên, với sự giúp đỡ của định thức Vandermonde, Gao [4] cho một chứng minh khác của định lý EGZ dựa trên đồng dư sau
ở đó p là một số nguyên tố và là các số nguyên bất kì. Chú ý rằng định lý EGZ là một hệ quả đơn giản của (*) vì theo định lý Fermat nhỏ chúng ta có
Trong bài báo này, chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau, mà đồng dư của Gao chỉ là một hệ quả đơn giản của nó:
Định lý. Giả sử p là một số nguyên tố và k là một số nguyên dương thỏa mãn . Cho
là một đa thức đối xứng với hệ số nguyên biến
. Nếu bậc của f nhỏ hơn k thì với một dãy bất kì gồm p+k-1 số nguyên
, chúng ta có
nếu k=p
và trong trường hợp còn lại.
Chứng minh. Chứng minh là sơ cấp, chỉ cần đến một tính chất số học cơ bản của hệ số nhị thức: nếu k=p và
nếu
.
Chúng tôi sẽ chứng minh định lý bằng quy nạp theo k. Khi k=1, vì nên f phải là một hằng số c. Trong trường hợp này
. Bây giờ giả sử rằng k>1 và định lý là đúng với tất cả các giá trị nhỏ hơn k. Đặt
và viết
dưới dạng
, ở đây
là các đa thức biến
. Từ tính đối xứng của f ta có
và tất cả
là các đa thức đối xứng.
Tiếp theo chúng ta thấy rằng
.
Do đó
.
Vì và
, chúng ta có thể dùng giả thiết quy nạp để có
. Do đó
. Từ đây, sử dụng tính đối xứng của
, chúng ta có
.
Cuối cùng, bởi định nghĩa của , ta có
nếu k=p và
nếu
.
Định lý được chứng minh.
Tài liệu tham khảo
[1]N. Alon and M. Dubiner, Zero-sum sets of prescribed size, in: “Combinatorics, Paul Erdos is Eighty”, Bolyai Society, Mathematical Studies, Keszthely, Hungary, 1993, 33-50.
[2]Y. Caro, “Zero-sum problems: a survey” Discrete Math. , 152 (1996) pp. 93–113.
[3]Erdos, P., Ginzburg, A., Ziv, A. Theorem in additive number Theory,. Bull. Res. Council, Israel, 10 F(1961) 41–43.
[4]W. D. Gao – Two addition theorems on groups of prime order, J. Number Theory, Vol.56 (1996) 211-213.
[5]W.D. Gao, A. Geroldinger, On zero sum sequences in Zn ⊕ Zn Integers 3 (A8) (2003) 45 (electronic).
[6]M. B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, 1996.