Vietnam Math Circle

Vietnam Math Circle là một chương trình phi lợi nhuận.

Mục tiêu của chương trình là giúp các em học sinh hiểu về bản chất của Toán học, học giỏi Toán, và ứng dụng các kiến thức Toán trong học tập và công việc hàng ngày. Cụ thể:

Chuẩn bị cho học sinh kiến thức và kĩ năng để tham gia các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Giới thiệu cho học sinh về một thế giới Toán học mở và giúp các em phát triển tiềm năng/khả năng của bản thân.
Giới thiệu cho học sinh về vẻ đẹp của Toán học thông qua các chủ đề cụ thể.
Giúp học sinh hiểu về các công việc liên quan đến Toán học và ứng dụng Toán học trong tương lai.

Chương trình bắt đầu nhận hồ sơ từ 06/02/2024. Hạn đăng ký là 31/03/2024.

Chúng tôi hi vọng đạt được những mục tiêu này thông qua:

Chương trình học được thiết kế và giảng dạy bởi các chuyên gia/nhà nghiên cứu/thầy cô có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy ở Việt Nam và nước ngoài.
Tạo ra một môi trường học tập vui vẻ, thân thiện, và giúp các em cảm thấy yêu thích mỗi khi được học tại Vietnam Math Circle.
Hình thức học tập bao gồm cả trực tiếp (với học sinh nội thành Hà Nội) và trực tuyến (với học sinh ngoại thành Hà Nội và các tỉnh thành khác).
Tổ chức kỳ thi đánh giá chất lượng giữa kỳ và cuối kỳ. Học sinh qua bài kiểm tra cuối kỳ sẽ được chuyển lên cấp học tiếp theo.
Những học sinh vượt khó, học giỏi trên các tỉnh thành sẽ được đăng ký xét Học bổng Vietnam Math Circle để tham gia chương trình học.
Các học sinh xuất sắc nhất của Vietnam Math Circle sẽ được tham gia trường hè với những bài giảng chuyên sâu từ các thầy trong Hội đồng chuyên môn.
Tổ chức kỳ thi học sinh giỏi Vietnam Math Circle hàng năm vào tháng 8.
Cung cấp cho học sinh những lời khuyên, định hướng học tập, cũng như những định hướng công việc trong tương lai.

Đây là một chương trình hấp dẫn. Các bạn có thể tìm hiểu thêm về chương trình này ở đường dẫn https://www.mathcircle.edu.vn/

Naive definition of probability

Phép thử ngẫu nhiên, hay phép thử, là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện, và khả năng xảy ra của các kết quả là như nhau. Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Kết quả thuận lợi cho một biến cố (sự kiện) $\displaystyle E$ liên quan đến phép thử $\displaystyle T$ là kết quả của phép thử $\displaystyle T$ làm cho biến cố $\displaystyle E$ xảy ra. Trong bài này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn.

Ví dụ 1. Tung một đồng xu, ta thấy có thể xảy ra một trong hai kết quả sấp ( $\displaystyle S$ ) hoặc ngửa ( $\displaystyle N$ ). Phép thử ngẫu nhiên ở đây là tung một đồng xu, không gian mẫu của phép thử là tập hợp $\displaystyle \Omega =\{S, N\}$ . Ta có thể để ý xem các biến cố sau có xảy ra không?

kết quả của phép thử là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử không là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ hoặc $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ và $\displaystyle N$ . $\Box$

Ví dụ 2. Xét phép thử ngẫu nhiên: tung một đồng xu bốn lần. Ta thấy một kết quả là $\displaystyle SNNS$ , và không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các dãy gồm $\displaystyle 4$ chữ cái thuộc $\displaystyle \{S,N\}$ . Chúng ta có thể mã hóa $\displaystyle S$ là $\displaystyle 1$ và $\displaystyle N$ là $\displaystyle 0$ , khi đó mỗi kết quả của phép thử là một dãy $\displaystyle (s_1,s_2,s_3,s_4)$ với các $\displaystyle s_j\in\{0;1\}$ và không gian mẫu của phép thử là tập tất cả các dãy như vậy.

Gọi $\displaystyle E_i$ là sự kiện lần tung thứ $\displaystyle i$ ra mặt ngửa. Tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle E_1$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle E_1$ , là

$\displaystyle E_1=\{(0,s_2,s_3,s_4)\mid s_j\in \{0;1\},\quad\forall j\}.$ Đây là một tập con của không gian mẫu.

Nếu $\displaystyle A$ là biến cố ít nhất một mặt là ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle A$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle A$ , là $\displaystyle A=E_1\cup E_2\cup E_3\cup E_4.$ Nếu $\displaystyle B$ là biến cố tất cả bốn lần tung đều hiện mặt ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle B$ là $\displaystyle B=E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4.$ $\Box$

Ví dụ 3. Xét phép thử ngẫu nhiên: Chọn một quân bài từ $\displaystyle 52$ quân bài. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ của phép thử là tập tất cả $\displaystyle 52$ quân bài. Ta quan tâm đến bốn biến cố sau:

$\displaystyle A$ : Quân bài là một con Át.

$\displaystyle B$ : Quân bài có màu đen.

$\displaystyle C$ : Quân bài có chất Rô.

$\displaystyle D$ : Quân bài có chất Cơ.

Như một tập hợp $\displaystyle D=$ {Át cơ, 2 cơ , 3 cơ,…, K cơ}. Ta có thể tạo ra nhiều biến cố từ bốn biến cố này.

$\displaystyle A\cap B$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át màu đen.

$\displaystyle A\cup C$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át hoặc có chất Rô.

$\displaystyle A\cup C\cup D$ là sự kiện quân bài rút ra là quân Át hoặc có màu đỏ. $\Box$

Định nghĩa (Định nghĩa ngây thơ của xác suất). Cho $\displaystyle A$ là một biến cố (sự kiện) của một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu hữu hạn $\displaystyle \Omega$ . Khi đó xác suất của $\displaystyle A$ , hay xác suất xảy ra $\displaystyle A$ , là $\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{\mid A\mid }{\mid \Omega\mid}.$

Theo định nghĩa thì $\displaystyle 0\leq \mathbb{P}(A)\leq 1$ , với mọi sự kiện $\displaystyle A$ . Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\emptyset$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố rỗng hay biến cố không thể. Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ hai xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\Omega$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố chắc chắn. Để tính xác suất của biến cố $\displaystyle A$ , ta cần tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của $\displaystyle A$ (như một tập hợp).

Ví dụ 4. Tung hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ .

Lời giải. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ là tập tất cả các cặp $\displaystyle (a,b)$ với $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ thuộc $\displaystyle \{1,2,\ldots,6\}$ . Tập các kết quả thuận lợi cho biến cố tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ là $\displaystyle \{(5,5),(6,4),(4,6)\}$ , suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle 3/36=1/12\approx 0.0833$ . $\Box$

Ví dụ 5. Một ván bài $\displaystyle 5$ lá được chia từ một bộ bài $\displaystyle 52$ lá tiêu chuẩn, được xáo trộn kỹ lưỡng. Ván bài được gọi là cù lũ trong poker nếu nó bao gồm ba lá bài ở cấp độ nào đó và hai lá bài ở cấp độ khác, ví dụ: ba lá bài $\displaystyle 7$ và hai lá bài $\displaystyle 10$ (theo bất kỳ thứ tự nào). Xác suất để có một cù lũ bằng bao nhiêu?

Lời giải. Không gian mẫu là họ tất cả các tập con gồm $\displaystyle 5$ lá bài trong bộ bài đã cho. Ta có ngay $\displaystyle \mid \Omega \mid =C_{52}^5$ . Có $\displaystyle 13\times 12$ cách chọn lần lượt hạng của bộ ba và đôi trong một cù lũ. Sau đó, có $\displaystyle C_4^3\times C_4^2$ cách chọn lần lượt một bộ ba và một đôi trong các hạng đã chọn trước đó. Suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle \frac{13\times 12\times C_4^3\times C_4^2}{C_{52}^5}=\frac{3744}{2598960}\approx 0.0014.$ $\Box$

Continue reading →

Erdos–Ginzburg–Ziv theorem

Định lí Erdos–Ginzburg–Ziv. Cho số nguyên dương $n.$ Khi đó trong mỗi $2n-1$ số nguyên, tồn tại $n$ số có tổng chia hết cho $n.$

Chứng minh. Trước tiên ta thấy khẳng định đúng với $n=1,$ và nếu khẳng định đúng với $x>1$ và $y>1$ thì nó cũng đúng với $xy.$ Thật vậy, giả sử $a_1,a_2,\ldots,a_{2xy-1}$ là các số nguyên bất kỳ. Trước tiên, vì $2xy-1>2y-1$ nên trong các số đã cho ta có thể chọn $y$ số $a_{1j}$ sao cho $\displaystyle a_{11}+a_{12}+\cdots +a_{1y}\equiv 0\pmod{y},$ sau bước này ta còn $2xy-1-y=(2x-1)y-1>2y-1$ số. Trong $(2x-1)y-1$ số đó ta chọn $y$ số $a_{2j}$ sao cho

$a_{21}+a_{22}+\cdots+a_{2y}\equiv 0\pmod{y},$ sau bước này ta còn $(2x-2)y-1$ số. Tiếp tục làm như vậy cuối cùng ta được $(2x-1)y$ số $a_{ij}$ thỏa mãn

$a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{iy}\equiv 0\pmod{y},\quad \forall i=\overline{1,2x-1}.$ Vì khẳng định đúng với $n=x$ nên trong $2x-1$ số nguyên $\displaystyle\frac{1}{y}(a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{iy}),$ tồn tại $x$ số, chẳng hạn $\displaystyle\frac{1}{y}(a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{iy})$ với $i=1,$ $2,\ldots,$ $x$ , có tổng chia hết cho $x.$ Khi đó $xy$ số $a_{ij}$ với $(i,j)\in [x]\times [y]$ có tổng chia hết cho $xy,$ suy ra khẳng định đúng với $xy.$

Vậy ta chỉ cần chứng minh nó đúng với các số nguyên tố. Giả sử $n=p$ là một số nguyên tố và $a_0,$ $a_1,\ldots,$ $a_{2p-2}$ là các số nguyên bất kỳ. Ta cần chỉ ra có $p$ số trong các số đã cho có tổng chia hết cho $p.$ Với mỗi số nguyên $\alpha,$ ký hiệu $(\alpha)_p$ là số dư khi chia $\alpha$ cho $p.$ Không mất tính tổng quát, giả sử $\{(a_i)_p\}$ là một dãy không giảm. Nếu tồn tại $i\in [p-1]$ sao cho $(a_i)_p=(a_{i+p-1})_p$ thì

$(a_i)_p=(a_{i+1})_p=\cdots =(a_{i+p-1})_p\Rightarrow \sum_{j=i}^{i+p-1}a_j\equiv 0\pmod{p},$ nếu không, xét $p-1$ tập $A_i=\{a_i,a_{i+p-1}\}$ và dùng hệ quả trong [1] ta có

$\mid A_1+A_2+\cdots+A_{p-1}\mid \geq \min (p,(p-1)\times 2-(p-1)+1)=p,$ suy ra với mỗi $i\in [p-1],$ tồn tại $b_i\in A_i$ để

$b_1+b_2+\cdots+b_{p-1}\equiv -a_0\pmod{p}\Rightarrow b_1+b_2+\cdots+b_{p-1}+a_0\equiv 0\pmod{p}.$ $\Box$

Tài liệu tham khảo

[1] https://nttuan.org/2014/09/29/cauchy-davenport/

IMO Shortlist 2022: Geometry

Trong bài này tôi sẽ dịch phần Hình học trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/

—

G1. Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ với $BC=DE.$ Giả sử có một điểm $T$ nằm trong $ABCDE$ sao cho $TB=TD,$ $TC=TE,$ và $\angle ABT = \angle TEA$ . Đường thẳng $AB$ cắt các đường thẳng $CD$ và $CT$ lần lượt tại $P$ và $Q.$ Giả sử $P,$ $B,$ $A,$ và $Q$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường thẳng $AE$ cắt các đường thẳng $CD$ và $DT$ lần lượt tại $R$ và $S.$ Giả sử $R,$ $E,$ $A,$ và $S$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Chứng minh rằng các điểm $P,$ $S,$ $Q,$ và $R$ cùng nằm trên một đường tròn.

G2. Trong tam giác nhọn $ABC$ , điểm $F$ là chân đường cao kẻ từ $A$ , $P$ là một điểm trên đoạn $AF$ . Các đường thẳng qua $P$ song song với $AC$ và $AB$ lần lượt cắt $BC$ tại $D$ và $E$ . Các điểm $X \ne A$ và $Y \ne A$ lần lượt nằm trên $(ABD)$ và $(ACE)$ sao cho $DA = DX$ và $EA = EY$ . Chứng minh rằng các điểm $B, C, X,$ và $Y$ cùng nằm trên một đường tròn.

G3. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp. Giả sử các điểm $Q$ , $A$ , $B$ , và $P$ thẳng hàng theo thứ tự này sao cho đường thẳng $AC$ là tiếp tuyến của $(ADQ)$ , và đường thẳng $BD$ là tiếp tuyến của $(BCP)$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC$ và $AD$ . Chứng minh ba đường thẳng sau đồng quy: đường thẳng $CD$ , tiếp tuyến của $(ANQ)$ tại $A$ , và tiếp tuyến của $(BMP)$ tại $B$ .

G4. Cho $ABC$ là một tam giác nhọn có $AC > AB$ , gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó và $D$ là một điểm trên đoạn $BC$ . Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ lần lượt cắt các đường thẳng $AO, AC,$ và $AB$ tại $W, X,$ và $Y$ . Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $AXY$ và $ABC$ cắt lại nhau tại $Z \ne A$ . Chứng minh rằng nếu $W \ne D$ và $OW = OD,$ thì $DZ$ là tiếp tuyến của $(AXY)$ .

G5. Cho $ABC$ là một tam giác và $\ell_1,\ell_2$ là hai đường thẳng song song. Giả sử với mỗi $i,$ $\ell_i$ lần lượt cắt các đường thẳng $BC$ , $CA$ , $AB$ tại $X_i,Y_i,Z_i$ . Với mỗi $i$ , gọi $\Delta_i$ là tam giác được tạo bởi đường thẳng đi qua $X_i$ và vuông góc với $BC$ , đường thẳng đi qua $Y_i$ và vuông góc với $CA$ , và đường thẳng đi qua $Z_i$ và vuông góc với $AB$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $\Delta_1$ và $\Delta_2$ tiếp xúc với nhau.

G6. Cho $ABC$ là một tam giác nhọn có đường cao ${AH}$ và $P$ là một điểm thay đổi sao cho các đường phân giác $k$ và $\ell$ lần lượt của $\angle PBC$ và $\angle PCB$ gặp nhau trên ${AH}$ . Cho $k$ gặp ${AC}$ tại $E$ , $\ell$ gặp ${AB}$ tại $F$ và ${EF}$ gặp ${AH}$ tại $Q$ . Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi, đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.

G7. Hai tam giác $ABC, A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ có cùng trực tâm $H$ và cùng đường tròn ngoại tiếp có tâm $O$ . Gọi $PQR$ là tam giác tạo bởi $AA^{\prime}$ , $BB^{\prime}$ và $CC^{\prime}$ , chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $PQR$ nằm trên $OH$ .

G8. Cho $AA^{\prime}BCC^{\prime}B^{\prime}$ là một lục giác lồi nội tiếp sao cho $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ và $A^{\prime}C^{\prime}$ là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ . Cho các đường thẳng $AB$ và $A^{\prime}B^{\prime}$ cắt nhau tại $X$ , các đường thẳng $BC$ và $B^{\prime}C^{\prime}$ cắt nhau tại $Y$ . Chứng minh rằng nếu $XBYB^{\prime}$ là một tứ giác lồi thì nó có đường tròn nội tiếp.