Vietnam Team Selection Test 2026

Day 1 (March 26, 2025)

Time allowed: 270 minutes

Problem 1. For a positive integer $k$ , a set $S$ of positive integers is called a $k$ -Olympic set if it satisfies the following conditions simultaneously:
(i) $S \neq \emptyset$ .
(ii) For every $n \in S$ , all positive divisors of $(25^n - 3^n)k^n$ also belong to $S$ .
Find all positive integers $k$ such that there is exactly one such $k$ -Olympic set.

Problem 2. Let $n$ be a positive integer, and in a country, there are $8n+3$ airports. Between any two airports, there is either a direct flight or not. Given that if there is no direct flight between two airports, the difference in the number of direct flights from these two airports is exactly 2. Determine the minimum possible total number of direct flights.

Problem 3. Let $ABC$ be an acute non-isosceles triangle with altitudes $AD, BE, CF$ . From vertex $A$ , drop perpendiculars to the lines $EF, FD, DE$ , denoted as $X, Y, Z$ respectively. Let the line $BZ$ intersect the circumcircle of triangle $BDY$ again at $P$ , and let the line $CY$ intersect the circumcircle of triangle $CDZ$ again at $Q$ . Prove that point $X$ has the same power with respect to the two circles $(YFP)$ and $(ZEQ)$ .

Day 2 (March 27, 2026)

Time allowed: 270 minutes

Problem 4. Let $ABC$ be a triangle with $O$ being the midpoint of $BC$ . Draw the tangents $AE, AF$ to the circle $(O)$ with diameter $BC$ , where $E, F \in (O)$ . The rays $AE, AF$ intersect $BC$ at points $K, L$ , respectively. Let $KF, LE$ intersect $(O)$ again at points $M, N$ , respectively. The circumcircle of triangle $MON$ intersects the circles with diameters $AB, AC$ again at points $X, Y$ , respectively. Prove that $\angle XAB = \angle YAC$ .

Problem 5. Given positive integers $k, n$ such that $k < n$ . Find all polynomials $P(x)$ with real coefficients of degree $kn$ and leading coefficient $1$ , such that the polynomial

$Q(x) = P(x^{n+1}) - P(x)^n$ has degree at most $kn(n-1)$ .

Problem 6. Let $\mathcal{H}$ be a family of subsets of the set ${1, 2, 3, \ldots, 2027}$ with the following property: for any set $A \in \mathcal{H}$ and any subset $B \subset A$ , we have $B \in \mathcal{H}$ . Let $l_{\mathcal{H}}, c_{\mathcal{H}}$ be the number of subsets in $\mathcal{H}$ that have an even number of elements and an odd number of elements, respectively. Prove that $l_{\mathcal{H}} - c_{\mathcal{H}} \le C^{1013}_{2026}$ .

USA TST Selection Test 2025

1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601239p35223673

Trong một nhóm hữu hạn người, một số cặp là bạn bè (tình bạn là tương hỗ). Mỗi người $p$ có một danh sách $f_1(p),f_2(p),\dots, f_{d(p)}(p)$ gồm những người bạn của mình, trong đó $d(p)$ là số lượng bạn bè khác nhau mà $p$ có. Ngoài ra, bất kỳ hai người nào cũng được kết nối bởi một chuỗi các mối quan hệ bạn bè. Mỗi người cũng có một quả bóng nước. Trò chơi sau được chơi cho đến khi ai đó có nhiều hơn một quả bóng nước: ở vòng $r$ , mỗi người $p$ ném quả bóng nước hiện có của mình cho người bạn $f_s(p)$ sao cho $d(p)$ chia hết $r-s$ . Chứng minh rằng nếu trò chơi không bao giờ kết thúc, thì mọi người đều có cùng số lượng bạn bè.

2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601242p35223679

Tìm tất cả các tập hợp $S\subseteq \mathbb{Z}$ sao cho tồn tại một hàm $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ để
$f(x-y) - 2f(x) + f(x+y) \geq -1$ với mọi $x, y\in \mathbb{R}$ , và $S$ là tập giá trị của $f$ .

3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601245p35223695

Cho $a_1$ , $a_2$ , $r$ , và $s$ là các số nguyên dương với $r$ và $s$ là số lẻ. Dãy $a_1, a_2, a_3, \dots$ được định nghĩa bởi $a_{n+2} = ra_{n+1} + sa_n$ với mọi $n \ge 1$ . Xác định số lượng lớn nhất có thể các chỉ số $1 \le \ell \le 2025$ sao cho $a_\ell$ chia hết $a_{\ell+1}$ , trên tất cả các lựa chọn có thể có của $a_1$ , $a_2$ , $r$ , và $s$ .

4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601254p35223710

Cho $n\ge 2$ là một số nguyên dương. Cho $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_n$ là một dãy các số nguyên dương sao cho $(a_1,a_2),(a_2,a_3),\,\dots,(a_{n-1},a_n)$ là một dãy tăng nghiêm ngặt. Hãy tìm, theo $n$ , giá trị lớn nhất có thể của $\displaystyle\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}$ trên tất cả các dãy như vậy.

5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601256p35223717

Một tứ diện $ABCD$ được gọi là tứ diện thiên thần nếu nó có thể tích khác không và thỏa mãn:

$\angle BAC + \angle CAD + \angle DAB = \angle ABC + \angle CBD + \angle DBA$

và $\angle ACB + \angle BCD + \angle DCA = \angle ADB + \angle BDC + \angle CDA.$

Trong tất cả các tứ diện thiên thần, số lượng độ dài khác nhau tối đa có thể xuất hiện trong tập hợp $\{AB,AC,AD,BC,BD,CD\}$ là bao nhiêu?

6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601258p35223726

Alice và Bob chơi một trò chơi trên $n$ đỉnh được đánh số $1, 2, \dots, n$ . Họ lần lượt thêm các cạnh $\{i, j\}$ , Alice đi trước. Không người chơi nào được phép thực hiện nước đi tạo thành chu trình, và trò chơi kết thúc sau tổng cộng $n-1$ lượt. Gọi trọng lượng của cạnh $\{i, j\}$ là $|i - j|$ , và $W$ là tổng trọng lượng của tất cả các cạnh khi kết thúc trò chơi. Alice chơi để tối đa hóa $W$ và Bob chơi để tối thiểu hóa $W$ . Nếu cả hai đều chơi tối ưu, thì $W$ sẽ là bao nhiêu?

7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601260p35223735

Với một số thực dương $c$ , dãy $a_1, a_2, \dots$ các số thực được định nghĩa như sau. Cho $a_1=c$ , và với $n \geq 2$ , đặt $a_n = \sum_{i=1}^{n-1} (a_i)^{n-i+1}$ . Tìm tất cả các số thực dương $c$ sao cho $a_i>a_{i+1}$ với mọi số nguyên dương $i$ .

8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601261p35223743

Tìm tất cả các đa thức $f$ có hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên dương $n$ , $n$ chia hết $\underbrace{f(f(\dots(f(0))\dots )}_{n+1\ f\text{'s}} - 1.$

9. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3601262p35223748

Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$ . Gọi $B_1$ , $C_1$ , $B_2$ , và $C_2$ là các điểm thẳng hàng lần lượt nằm trên $AB$ , $AC$ , $BH$ , và $CH$ . Gọi $\omega_B$ và $\omega_C$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ . Chứng minh rằng trục đẳng phương của $\omega_B$ và $\omega_C$ cắt đường thẳng qua tâm của chúng trên đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$ .

2026 USA IMO Team Selection Test

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733926p36710571

Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng ta có thể tô màu các hệ số khác không của đa thức

$\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\prod_{k=0}^{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-k)$

bằng $2^n-1$ màu sao cho tổng các hệ số của mỗi màu bằng $0$ , và mỗi màu được sử dụng ít nhất một lần.

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733954p36710650

Cho $p$ là một số nguyên tố và $a, b$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $p$ . Chứng minh rằng

$\displaystyle\sum_{k=1}^{b}(-1)^{\lfloor(a-1)k/p\rfloor+\lfloor ak/p\rfloor}\ge0.$

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3733942p36710611

Chứng minh rằng với bất kỳ tập hợp con $S$ nào của $\mathbb{R}^{2}$ , tồn tại một hình chữ nhật có diện tích bằng $1$ mà phần trong của nó chứa hoặc $0$ điểm, hoặc nhiều hơn $2025$ điểm của $S$ .

IMO Shortlist 2024: Algebra

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán đại số trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Phần hình học của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358923p31205921

Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ , số

$[\alpha]+[2\alpha]+\cdots+[n\alpha]$

chia hết cho $n$ . (IMO2024/1)

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610446p35340919

Cho $n$ là một số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của

$S = 2^0 x_0^2 + 2^1 x_1^2 + \dots + 2^n x_n^2,$

trong đó $x_0, x_1, \dots, x_n$ là các số nguyên không âm sao cho $x_0 + x_1 + \dots + x_n = n$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610463p35340954

Hãy xác định xem với mọi dãy số thực dương $(a_n)$ ,

$\displaystyle\frac{3^{a_1}+3^{a_2}+\cdots+3^{a_n}}{(2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n})^2} < \frac{1}{2024}$

có đúng với ít nhất một số nguyên dương $n$ hay không.

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610435p35340902

Tìm tất cả các tập con $\mathcal{S}$ của $\{2^{0},2^{1},2^{2},\ldots\}$ sao cho tồn tại một hàm $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ với

$\mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.$

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610458p35340939

Tìm tất cả các dãy số tuần hoàn $a_1,a_2,\dots$ gồm các số thực sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$a_{n+2}+a_{n}^2=a_n+a_{n+1}^2$

và $|a_{n+1}-a_n|\leqslant 1.$

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610454p35340929

Cho $a_0, a_1, a_2, \ldots$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho với mỗi $n \ge 1$ , ta có

$\displaystyle a_n \in \left\{ \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} \right\}.$

Cho $b_1, b_2, \ldots$ là một dãy vô hạn các chữ cái được xác định bởi

$b_n = A$ nếu $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$ , $=G$ trong trường hợp còn lại. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $n_0$ và $d$ sao cho với mọi $n \ge n_0$ ta có $b_{n+d} = b_n$ .

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359771p31218720

Một hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ được gọi là đẹp nếu với mỗi số hữu tỷ $x$ và $y$ , $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$ , có không quá $c$ số hữu tỷ có dạng $f(r)+f(-r)$ , với số hữu tỷ $r$ nào đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của các số $c$ có tính chất này. (IMO2024/6)

A8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610460p35340944

Cho $p \ne q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xác định tất cả các dãy vô hạn $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,