IMO Shortlist 2024: Algebra

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán đại số trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Phần hình học của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358923p31205921

Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ , số

$[\alpha]+[2\alpha]+\cdots+[n\alpha]$

chia hết cho $n$ . (IMO2024/1)

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610446p35340919

Cho $n$ là một số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của

$S = 2^0 x_0^2 + 2^1 x_1^2 + \dots + 2^n x_n^2,$

trong đó $x_0, x_1, \dots, x_n$ là các số nguyên không âm sao cho $x_0 + x_1 + \dots + x_n = n$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610463p35340954

Hãy xác định xem với mọi dãy số thực dương $(a_n)$ ,

$\displaystyle\frac{3^{a_1}+3^{a_2}+\cdots+3^{a_n}}{(2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n})^2} < \frac{1}{2024}$

có đúng với ít nhất một số nguyên dương $n$ hay không.

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610435p35340902

Tìm tất cả các tập con $\mathcal{S}$ của $\{2^{0},2^{1},2^{2},\ldots\}$ sao cho tồn tại một hàm $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ với

$\mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.$

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610458p35340939

Tìm tất cả các dãy số tuần hoàn $a_1,a_2,\dots$ gồm các số thực sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$a_{n+2}+a_{n}^2=a_n+a_{n+1}^2$

và $|a_{n+1}-a_n|\leqslant 1.$

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610454p35340929

Cho $a_0, a_1, a_2, \ldots$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho với mỗi $n \ge 1$ , ta có

$\displaystyle a_n \in \left\{ \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} \right\}.$

Cho $b_1, b_2, \ldots$ là một dãy vô hạn các chữ cái được xác định bởi

$b_n = A$ nếu $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$ , $=G$ trong trường hợp còn lại. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $n_0$ và $d$ sao cho với mọi $n \ge n_0$ ta có $b_{n+d} = b_n$ .

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359771p31218720

Một hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ được gọi là đẹp nếu với mỗi số hữu tỷ $x$ và $y$ , $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$ , có không quá $c$ số hữu tỷ có dạng $f(r)+f(-r)$ , với số hữu tỷ $r$ nào đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của các số $c$ có tính chất này. (IMO2024/6)

A8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610460p35340944

Cho $p \ne q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xác định tất cả các dãy vô hạn $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) = p$

và $\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) = q$ .

International Mathematics Tournament of the Towns, Spring 2024

Kỳ thi Toán quốc tế giữa các thành phố là một kỳ thi học sinh giỏi môn Toán có quy mô quốc tế được tổ chức lần đầu tiên tại Nga vào năm 1980. Cho đến nay, mỗi năm, kỳ thi được tổ chức tại hơn 100 thành phố ở hơn 25 quốc gia trên toàn thế giới. Điều đặc biệt của kỳ thi là học sinh được làm bài tại thành phố của mình, do đó giảm thiểu tối đa các chi phí phát sinh. Bài làm của các thí sinh sẽ được Ban tổ chức tại địa phương chấm và gửi kết quả về Ban tổ chức Trung ương tại Nga. Mỗi năm, có hơn 1000 thí sinh đạt tiêu chuẩn được cấp Bằng chứng nhận từ Viện Hàn lâm Khoa học Nga (Russian Academy of Sciences).

Nhằm thúc đẩy phong trào dạy và học Toán theo xu hướng hội nhập quốc tế, năm 2015, kỳ thi ITOT được tổ chức lần đầu tiên tại Việt Nam do Trung tâm Nghiên cứu và Ứng dụng Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội làm đại diện chính thức của kỳ thi tại Việt Nam.

Từ năm 2024, Công ty TNHH Giáo dục VSO là đơn vị đại diện chính thức phối hợp với Viện Hàn lâm Khoa học Nga để tổ chức các kỳ thi ITOT tại Việt Nam. Kỳ thi được tổ chức hằng năm, mỗi năm hai vòng vào mùa thu (khoảng tháng mười) và mùa xuân (khoảng tháng ba). Học sinh có thể tham gia vào một trong hai hoặc cả hai vòng, tùy theo điều kiện địa phương.

1. Mục đích của kỳ thi

Kỳ thi Toán quốc tế giữa các thành phố giúp cho học sinh có cơ hội tham gia một kỳ thi chuẩn quốc tế. Mục đích chính của kỳ thi là góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có năng khiếu. Bên cạnh đó, kỳ thi còn cung cấp cho giáo viên và những người tổ chức địa phương một nguồn tài liệu chất lượng cao.

2. Cơ quan tổ chức:

Công ty TNHH Giáo dục VSO

Đơn vị triển khai: Vietnam Math Circle

3. Thời gian, địa điểm tổ chức kỳ thi ITOT45 mùa xuân

– Thời gian: Ngày thi cấp độ O: 23/03/2024

Ngày thi cấp độ A: 24/03/2024

– Địa điểm: Trường Tiểu học, THCS và THPT Thực nghiệm Khoa học Giáo dục, 50 P. Liễu Giai, Cống Vị, Ba Đình, Hà Nội

4. Đối tượng dự thi

– Cấp THCS: Học sinh khối lớp 7, 8 và 9;

– Cấp THPT: Học sinh khối lớp 10, 11 và 12.

5. Hình thức thi

Thí sinh thi tập trung tại điểm thi. Thông tin về các phòng thi và danh sách học sinh sẽ được ban tổ chức công bố trên website trước ngày 22/03/2024.

Nguồn: https://www.mathcircle.edu.vn/ITOTSpring2024

Vietnam Math Circle

Vietnam Math Circle là một chương trình phi lợi nhuận.

Mục tiêu của chương trình là giúp các em học sinh hiểu về bản chất của Toán học, học giỏi Toán, và ứng dụng các kiến thức Toán trong học tập và công việc hàng ngày. Cụ thể:

Chuẩn bị cho học sinh kiến thức và kĩ năng để tham gia các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Giới thiệu cho học sinh về một thế giới Toán học mở và giúp các em phát triển tiềm năng/khả năng của bản thân.
Giới thiệu cho học sinh về vẻ đẹp của Toán học thông qua các chủ đề cụ thể.
Giúp học sinh hiểu về các công việc liên quan đến Toán học và ứng dụng Toán học trong tương lai.

Chương trình bắt đầu nhận hồ sơ từ 06/02/2024. Hạn đăng ký là 31/03/2024.

Chúng tôi hi vọng đạt được những mục tiêu này thông qua:

Chương trình học được thiết kế và giảng dạy bởi các chuyên gia/nhà nghiên cứu/thầy cô có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy ở Việt Nam và nước ngoài.
Tạo ra một môi trường học tập vui vẻ, thân thiện, và giúp các em cảm thấy yêu thích mỗi khi được học tại Vietnam Math Circle.
Hình thức học tập bao gồm cả trực tiếp (với học sinh nội thành Hà Nội) và trực tuyến (với học sinh ngoại thành Hà Nội và các tỉnh thành khác).
Tổ chức kỳ thi đánh giá chất lượng giữa kỳ và cuối kỳ. Học sinh qua bài kiểm tra cuối kỳ sẽ được chuyển lên cấp học tiếp theo.
Những học sinh vượt khó, học giỏi trên các tỉnh thành sẽ được đăng ký xét Học bổng Vietnam Math Circle để tham gia chương trình học.
Các học sinh xuất sắc nhất của Vietnam Math Circle sẽ được tham gia trường hè với những bài giảng chuyên sâu từ các thầy trong Hội đồng chuyên môn.
Tổ chức kỳ thi học sinh giỏi Vietnam Math Circle hàng năm vào tháng 8.
Cung cấp cho học sinh những lời khuyên, định hướng học tập, cũng như những định hướng công việc trong tương lai.

Đây là một chương trình hấp dẫn. Các bạn có thể tìm hiểu thêm về chương trình này ở đường dẫn https://www.mathcircle.edu.vn/

IMO Shortlist 2022: Combinatorics

Trong bài này tôi sẽ dịch phần Tổ hợp trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/.

Phần Hình của năm 2022 tôi đã dịch ở đây

IMO Shortlist 2022: Geometry

C1. Một $\pm 1$ -dãy là một dãy gồm $2022$ số $a_1, \ldots, a_{2022},$ mỗi số bằng $+1$ hoặc $-1$ . Tìm số $C$ lớn nhất sao cho, đối với bất kỳ dãy $\pm 1$ nào, tồn tại một số nguyên $k$ và các chỉ số $1 \le t_1 < \ldots < t_k \le 2022$ để $t_{i+1} - t_i \le 2$ với mọi $i$ , và $\displaystyle \left| \sum_{i=1}^{k} a_{t_i} \right| \ge C.$

C2. Ngân hàng Oslo phát hành hai loại tiền xu: nhôm (ký hiệu là $A$ ) và đồng (ký hiệu là $B$ ). Alpha có $n$ đồng xu nhôm và $n$ đồng xu đồng được sắp xếp thành một hàng theo thứ tự ban đầu tùy ý. Một chuỗi là bất kỳ dãy con nào các đồng xu liên tiếp có cùng loại. Cho một số nguyên dương cố định $k \leq 2n$ , Beta lặp đi lặp lại thao tác sau: anh ta xác định chuỗi dài nhất chứa đồng xu thứ $k$ từ bên trái và di chuyển tất cả đồng xu trong chuỗi đó sang đầu bên trái của hàng. Ví dụ: nếu $n=4$ và $k=4$ , quá trình bắt đầu từ $AABBBABA$ sẽ là

$AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to ...$

Tìm tất cả các cặp $(n,k)$ với $1 \leq k \leq 2n$ sao cho với mỗi cách xếp các đồng xu lúc đầu, tại một thời điểm nào đó trong quá trình, $n$ đồng xu ngoài cùng bên trái có cùng loại.

C3. Trong mỗi ô vuông của một khu vườn có dạng bảng ô vuông cỡ $2022 \times 2022$ , ban đầu có một cái cây cao $0$ . Một người làm vườn và một thợ đốn gỗ thay phiên nhau chơi trò chơi sau, người làm vườn sẽ chơi ở lượt đầu tiên:

(1) Người làm vườn chọn một ô vuông trong vườn. Sau đó mỗi cây trên ô vuông đó và tất cả các ô vuông xung quanh trở thành cao hơn một đơn vị.

(2) Người thợ đốn gõ chọn bốn ô vuông khác nhau trong vườn. Sau đó mỗi cây có chiều cao dương trên các ô vuông đó sẽ trở thành thấp hơn một đơn vị.

Ta nói rằng một cái cây là hùng vĩ nếu chiều cao của nó ít nhất là $10^6$ . Tìm số $K$ lớn nhất sao cho người làm vườn có thể đảm bảo cuối cùng sẽ có $K$ cây hùng vĩ trong vườn, bất kể người thợ đốn gỗ chơi như thế nào.

C4. Cho một số nguyên $n > 3$ . Giả sử rằng $n$ đứa bé được sắp xếp thành một vòng tròn và $n$ đồng xu được phân phát cho chúng (một số bé có thể không có đồng xu nào). Ở mỗi bước, bé có ít nhất $2$ đồng xu có thể đưa $1$ đồng xu cho mỗi bé ngay bên phải và bên trái của mình. Hãy tìm tất cả các cách phân phát các đồng xu ban đầu sao cho sau một số hữu hạn bước, mỗi bé có đúng một đồng xu.

C5. Cho $m,n \geqslant 2$ là các số nguyên, $X$ là một tập hợp có $n$ phần tử, và $X_1$ , $X_2$ , $\ldots$ , $X_m$ là các tập hợp con khác rỗng phân biệt của $X$ . Một hàm $f \colon X \to \{1,2,\ldots,n+1\}$ được gọi là tốt nếu tồn tại một chỉ số $k$ sao cho $\displaystyle\sum_{x \in X_k} f(x )>\sum_{x \in X_i} f(x), \quad \forall i \ne k.$ Chứng minh rằng số hàm tốt ít nhất là $n^n$ .

C6. Cho $n$ là một số nguyên dương. Chúng ta bắt đầu với $n$ đống sỏi, mỗi đống ban đầu chỉ chứa một viên sỏi. Người ta có thể thực hiện các bước di chuyển theo hình thức sau: chọn hai đống, lấy một số viên sỏi bằng nhau từ mỗi đống và tạo thành một đống mới từ những viên sỏi này. Tìm, theo $n$ , số nhỏ nhất các đống sỏi khác rỗng mà một người có thể thu được bằng cách thực hiện một dãy hữu hạn các bước di chuyển có dạng này.

C7. Lucy bắt đầu bằng cách viết $s$ bộ $2022$ số nguyên lên bảng đen. Sau khi làm điều đó, cô ấy có thể lấy hai bộ bất kỳ (không nhất thiết phải khác nhau) $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ và $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{ 2022})$ mà cô ấy đã viết và áp dụng một trong các thao tác sau để lấy bộ mới:

$\mathbf{v}+\mathbf{w}=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022})$

$\mathbf{v} \lor \mathbf{w}=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022}))$

rồi viết bộ này lên bảng. Sau hữu hạn bước, theo cách này, Lucy có thể viết bất kỳ bộ $2022$ số nguyên nào lên bảng. Số $s$ nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?

C8. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hình vuông Bắc Âu là một bảng ô vuông $n \times n$ chứa tất cả các số nguyên từ $1$ đến $n^2$ sao cho mỗi ô chứa đúng một số. Hai ô khác nhau được gọi là kề nếu chúng có chung một cạnh. Mỗi ô chỉ kề với các ô chứa số lớn hơn được gọi là thung lũng. Đường lên dốc là một dãy gồm một hoặc nhiều ô sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

(i) ô đầu tiên trong dãy là một thung lũng,

(ii) mỗi ô tiếp theo trong dãy kề với ô trước đó,

(iii) các số trên các ô trong dãy lập thành một dãy tăng theo thứ tự.

Tìm, theo $n$ , số nhỏ nhất đường lên dốc có thể có trong một hình vuông Bắc Âu.

C9. Xét các song ánh $f:\mathbb N\times \mathbb N \to \mathbb N$ có tính chất: mỗi khi $f(x_1,y_1) > f(x_2, y_2)$ , thì $f(x_1+1, y_1) > f(x_2 + 1, y_2)$ và $f(x_1, y_1+1) > f(x_2, y_2+1)$ . Gọi $k$ là số cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $0\le x,y<100$ và $f(x,y)$ is số nguyên lẻ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $k$ .