ProofWiki – Page 4

Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các dãy Farey. Phần đầu là kiến thức cơ bản về dãy Farey, ở phần thứ hai chúng ta sẽ dùng dãy Farey để chứng minh lại một số định lý xấp xỉ (xem [1]).

Cho số nguyên dương $\displaystyle n$ . Phân số tối giản $\displaystyle \frac{p}{q}\in [0;1]$ được gọi là phân số Farey bậc $\displaystyle n$ nếu $\displaystyle 0<q\leq n$ . Dãy tăng tất cả các phân số Farey bậc $\displaystyle n$ được gọi là dãy Farey bậc $\displaystyle n$ , ký hiệu là $\displaystyle F_n$ .

Bốn dãy Farey đầu tiên là:

$\displaystyle \displaystyle F_1:\,\frac{0}{1};\frac{1}{1}$ .

$\displaystyle \displaystyle F_2:\,\frac{0}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{1}$ .

$\displaystyle \displaystyle F_3:\,\frac{0}{1};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{1}{1}.$

$\displaystyle \displaystyle F_4:\,\frac{0}{1};\frac{1}{4};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{1}{1}.$

Rõ ràng là với mỗi số nguyên dương $\displaystyle n$ , dãy $\displaystyle F_n$ có đúng $\displaystyle 1+\sum_{k=1}^n\varphi (k)$ số hạng.

Định lý 1. Cho các số tự nhiên $\displaystyle a,b,c$ và $\displaystyle d$ thỏa mãn $\displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\leq 1$ và $\displaystyle bc-ad=1$ . Khi đó $\displaystyle \frac{a}{b}$ và $\displaystyle \frac{c}{d}$ là hai số hạng liên tiếp của dãy $\displaystyle F_n$ . Ở đây $\displaystyle n$ là một số nguyên dương thỏa mãn $\displaystyle \max\{b,d\}\leq n\leq b+d-1$ .

Chứng minh. Từ $\displaystyle bc-ad=1$ ta có $\displaystyle \displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d}$ là hai phân số tối giản, mà $\displaystyle \max\{b,d\}\leq n$ , suy ra chúng là các số hạng của dãy $\displaystyle F_n$ . Nếu chúng không phải là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ thì tồn tại phân số Farey bậc $\displaystyle n$ , ký hiệu là $\displaystyle \frac{h}{k}$ , thỏa mãn $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}.$ Vì $\displaystyle ck-dh\geq 1$ và $\displaystyle bh-ak\geq 1$ nên

$\displaystyle b+d-1\geq n\geq k=(bc-ad)k=b(ck-dh)+d(bh-ak)\geq b+d,$

đây là điều không thể xảy ra. $\Box$

Với các số tự nhiên $\displaystyle a,b,c$ và $\displaystyle d$ thỏa mãn $\displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d},$ phân số $\displaystyle \dfrac{a+c}{b+d}$ được gọi là phân số trung gian của hai phân số $\displaystyle \frac{a}{b}$ và $\displaystyle \frac{c}{d}$ . Từ chứng minh trên ta có:

Định lý 2. Cho các số tự nhiên $\displaystyle a,b,c$ và $\displaystyle d$ thỏa mãn $\displaystyle 0\leq \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\leq 1$ và $\displaystyle bc-ad=1$ . Khi đó nếu $\displaystyle \dfrac{h}{k}$ là phân số trung gian của hai phân số $\displaystyle \frac{a}{b}$ , $\displaystyle \frac{c}{d}$ thì $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}$ và $\displaystyle bh-ak=1,\quad ck-dh=1.$

Từ kết quả này ta thấy trong định lý 1, nếu $\displaystyle n>b+d-1$ thì $\displaystyle a/b$ và $\displaystyle c/d$ không phải là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ . Định lý sau cho một cách xác định các dãy Farey bằng quy nạp.

Định lý 3. Với mọi số nguyên dương $n,$ ta có

(1) Dãy $\displaystyle F_{n+1}$ có được từ dãy $\displaystyle F_n$ bằng cách viết vào giữa hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ có tổng các mẫu không vượt quá $\displaystyle n+1$ phân số trung gian của chúng.

(2) Nếu $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ thì $\displaystyle bc-ad=1$ .

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $\displaystyle n$ . Rõ ràng khẳng định đúng với $\displaystyle n=1$ . Giả sử khẳng định đúng với các số nguyên dương bé hơn $\displaystyle n\, (n\geq 2)$ , ta sẽ chứng minh khẳng định đúng với $\displaystyle n$ . Từ các kết quả trước và giả thiết quy nạp ta có nếu $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ thì $\displaystyle bc-ad=1$ . Sau khi viết vào giữa hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F_n$ có tổng các mẫu không vượt quá $\displaystyle n+1$ phân số trung gian của chúng ta thu được dãy con $\displaystyle F^{\prime}_n$ của $\displaystyle F_{n+1}$ . Nếu trong $\displaystyle F_{n+1}$ có phân số $\displaystyle \dfrac{h}{k}$ không thuộc $\displaystyle F'_n$ thì tồn tại hai số hạng liên tiếp $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ của $\displaystyle F'_n$ sao cho $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}$ . Vì $\displaystyle \frac{h}{k}$ không thuộc $\displaystyle F^{\prime}_n$ nên nó cũng không thuộc $\displaystyle F_n$ , suy ra $\displaystyle k>n$ , kết hợp với $\displaystyle k\leq n+1$ ta có $\displaystyle k=n+1$ . Từ chứng minh của các kết quả trên suy ra $\displaystyle k=n+1\geq b+d$ , do đó $\displaystyle \frac{a}{b}$ và $\displaystyle \frac{c}{d}$ là hai phân số liên tiếp của $\displaystyle F_n$ . Mà $\displaystyle b+d\leq n+1$ , suy ra chúng không thể là hai số hạng liên tiếp của $\displaystyle F^{\prime}_n$ , vô lý. $\Box$

Dãy số Farey được đặt theo tên của nhà địa chất người Anh John Farey, lá thư của ông về những dãy này đã được đăng vào năm 1816. Farey phỏng đoán, mà không đưa ra chứng minh, rằng mỗi số hạng trong một dãy Farey là trung gian của các số liên tiếp trong dãy Farey ngay trước nó. Bức thư của Farey đã được đọc bởi Cauchy, người đã đưa ra chứng minh trong một cuốn sách của mình và cho rằng kết quả này là của Farey. Trên thực tế, một nhà toán học khác, Charles Haros, đã công bố những kết quả tương tự vào năm 1802 mà cả Farey và Cauchy đều không biết. Vì vậy, đó là một sự tình cờ lịch sử đã liên kết tên tuổi của Farey với những dãy này. Một lần nữa, trước đó là Pell, người có tên được đặt cho một mối quan hệ toán học không phải là người đầu tiên tìm ra nó.

Đọc thêm

[1] https://nttuan.org/2007/12/15/pell-equation/

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của bổ đề Siegel, một bổ đề có nhiều áp dụng trong số học (xem trong [1], trang 316).

Bổ đề Siegel. Cho hai số nguyên dương $N>M$ và một bảng các số nguyên không đồng thời bằng không $(a_{i,j})$ có cỡ $M\times N$ . Khi đó hệ phương trình

$\displaystyle \sum_{j=1}^Na_{i,j}x_j=0,\quad i=1,2,\ldots,M$

có nghiệm nguyên $(y_1,y_2,\ldots,y_N)$ thỏa mãn $\max \mid y_i\mid \leq \left(N\max \mid a_{i,j}\mid \right)^{\frac{M}{N-M}}$ và các số $y_1,y_2,\ldots,y_N$ không đồng thời bằng không.

Hệ phương trình thuần nhất trên có số ẩn nhiều hơn số phương trình và có hệ số hữu tỷ nên nó có nghiệm hữu tỷ khác không, do đó nó có nghiệm nguyên khác không (xem trong [2], trang 49). Bổ đề nói rằng ta có thể tìm nghiệm nguyên không tầm thường đủ nhỏ của hệ.

Chứng minh. Đặt $a=\max \mid a_{i,j}\mid$ , $\displaystyle L_i(x_1,x_2,\ldots,x_N)=\sum_{j=1}^Na_{i,j}x_j,$
$\displaystyle a_i^{+}=\sum_{j=1}^N\max\{a_{i,j};0\},$ và $\displaystyle a_i^{-}=\sum_{j=1}^N\min \{a_{i,j};0\},$ với $i=1,2,\ldots,M$ .

Xét một số tự nhiên $b$ . Gọi $S$ là tập các bộ số tự nhiên $(x_1,x_2,\ldots,x_{N})$ thỏa mãn $x_i\leq b$ với mọi $i$ . Khi đó $\mid S\mid =(b+1)^N$ và với mỗi $(x_i)\in S$ , bộ

$(L_1(x_1,x_2,\ldots,x_N),L_2(x_1,x_2,\ldots,x_N),\ldots,L_M(x_1,x_2,\ldots,x_N))$

thuộc tập hợp tích $\displaystyle T=\prod_{i=1}^M\{a_i^{-}b,a_i^{-}b+1,\ldots,a_i^{+}b\}$ . Ta có

$\displaystyle \mid T\mid = \prod_{i=1}^M\mid \{a_i^{-}b,a_i^{-}b+1,\ldots,a_i^{+}b\}\mid = \prod_{i=1}^M(b(a_i^+-a_i^-)+1)\leq (bNa+1)^M.$

Giả sử chọn được $b$ thỏa mãn bất đẳng thức

$\displaystyle (bNa+1)^M<(b+1)^N.\quad (*)$

Khi đó tồn tại hai phần tử khác nhau $(x_i)$ và $(x_i^{\prime})$ của $S$ để hai phần tử tương ứng trong $T$ là một. Ta thấy $(y_i)$ , với $y_i=x_i-x_i^{\prime}$ , là một nghiệm nguyên khác không của hệ phương trình thỏa mãn $\mid y_i\mid\leq b$ với mọi $i$ . Bây giờ kiểm tra thấy khi $b= \left[\left(Na\right)^{\frac{M}{N-M}}\right]$ thì có $(*)$ , từ đó có nghiệm $(y_i)$ thỏa mãn bổ đề.

Tài liệu tham khảo

[1] Hindry, M., Silverman, J.H.: Diophantine Geometry. Springer, New York (2000)
[2] Jacobson, N.: Lectures in Abstract Algebra: II. Linear Algebra. Springer, New
York (1975)

M	T	W	T	F	S	S
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Category: ProofWiki

Farey sequence and approximation of irrational numbers I

A proof of Euler’s formula

Siegel’s lemma