IMO Shortlist 2024: Number theory

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán số học trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Các phần hình học và đại số của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây

A. https://nttuan.org/2025/09/03/isl2024a/

G. https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

N1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610447p35340920

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn tính chất sau: với mọi ước số dương $d$ của $n$ , ta có $d+1\mid n$ hoặc $d+1$ là số nguyên tố.

N2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610444p35340915

Xác định tất cả các tập hợp hữu hạn, khác rỗng $\mathcal{S}$ các số nguyên dương sao cho với mọi $a,b\in\mathcal{S}$ tồn tại $c\in\mathcal{S}$ thỏa mãn $a\mid b+2c$ .

N3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610437p35340905

Xác định tất cả các dãy số $a_1, a_2, \dots$ các số nguyên dương sao cho với mọi cặp số nguyên dương $m\leqslant n$ , trung bình cộng và trung bình nhân

$\displaystyle \frac{a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n}{n-m+1}$ và $\displaystyle (a_ma_{m+1}\cdots a_n)^{\frac{1}{n-m+1}}$ đều là các số nguyên.

N4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358926p31205957

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g$ và $N$ thỏa mãn $(a^n+b,b^n+a)=g$ với mọi số nguyên $n\geq N$ . (IMO2024/2)

N5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610445p35340917

Cho $\mathcal{S}$ là một tập hợp hữu hạn khác rỗng các số nguyên tố. Giả sử $1 = b_1 < b_2 < \dots$ là dãy tất cả các số nguyên dương mà các ước nguyên tố đều thuộc $\mathcal{S}$ . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ đủ lớn, tồn tại các số nguyên dương $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho

$\displaystyle \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \dots + \frac{a_n}{b_n} = \left\lceil \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \right\rceil.$

N6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610457p35340935

Cho $n$ là một số nguyên dương. Ta nói một đa thức $P$ với các hệ số nguyên là $n$ -tốt nếu tồn tại một đa thức $Q$ bậc $2$ với các hệ số nguyên sao cho $Q(k)(P(k) + Q(k))$ không chia hết cho $n$ với mọi số nguyên $k$ . Xác định tất cả các số nguyên $n$ sao cho mọi đa thức với các hệ số nguyên là một đa thức $n$ -tốt.

Continue reading →

IMO2025/3

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 3 trong đề IMO 2025. Đề thi đầy đủ tôi đã đăng ở đây: https://nttuan.org/2025/07/01/imo-2025-problems-and-results/ .

IMO2025/3. Một hàm $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$ được gọi là bonza nếu $f(a)\mid b^a-f(b)^{f(a)}$ với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ .
Xác định hằng số thực nhỏ nhất $c$ sao cho $f(n)\leqslant cn$ với mọi hàm bonza $f$ và mọi số nguyên dương $n$ .

imo2025p3 Download

IMO Shortlist 2023: Number theory

Hình học : https://nttuan.org/2024/11/02/isl2023-geometry/

Đại số: https://nttuan.org/2025/01/23/isl2023-algebra/

——

N1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106752p28097575

Tìm tất cả các hợp số $n$ có tính chất: nếu $d_1, d_2, \ldots, d_k$ là tất cả ước dương của $n$ với $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ , thì $d_i$ chia hết $d_{i+1}+d_{i+2}$ với mọi $i$ thỏa mãn $1 \leqslant i \leqslant k-2$ . (IMO2023/1)

N2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359734p31218394

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,p)$ sao cho $p$ là một số nguyên tố và $p^a+a^4$ là một số chính phương.

N3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359721p31218370

Với các số nguyên dương $n$ và $k \geq 2$ , gọi $E_k(n)$ là số tự nhiên $r$ lớn nhất sao cho $k^r$ chia hết $n!$ . Chứng minh rằng có vô hạn $n$ để $E_{10}(n) > E_9(n)$ và vô hạn $m$ để $E_{10}(m) < E_9(m)$ .

N4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359730p31218384

Cho $a_1, \dots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ là $2n$ số nguyên dương sao cho $n+1$ tích

$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots, b_n$

tạo thành một cấp số cộng tăng theo thứ tự đó. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có thể là công sai của một cấp số cộng như vậy.

N5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359746p31218469

Cho $a_1<a_2<a_3<\dots$ là các số nguyên dương sao cho $a_{k+1}\mid 2(a_1+a_2+\dots+a_k)$ với mọi $k\geqslant 1$ . Giả sử rằng với vô hạn số nguyên tố $p$ , tồn tại $k$ để $p$ chia hết $a_k$ . Chwungs minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ , tồn tại $k$ để $n$ chia hết $a_k$ .

N6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359725p31218376

Một dãy các số nguyên $a_0, a_1,\ldots$ được gọi là tốt nếu $a_0 =0$ , $a_1=1,$ và

$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$

với mọi số nguyên $n \geq 0$ . Một số nguyên được gọi là tốt nếu nó thuộc một dãy tốt. Giả sử hai số $m$ và $m+1$ đều tốt, chứng minh rằng $m$ chia hết cho $3,$ và $m/3$ cũng là số tốt.

N7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359727p31218380

Xét các số nguyên dương $a$ , $b$ , $latex $c$, và $d$ thỏa mãn

$\displaystyle \frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}.$

Tính tổng $a+b+c+d$ .

N8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359735p31218397

Tìm tất cả các hàm số $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ sao cho

$f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b),$

với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ . Trong đó $f^k$ là lũy thừa bậc $k$ của $f$ theo phép toán hợp thành.

IMO Shortlist 2022: Number theory

N1. Một số nguyên dương được gọi là số Na Uy nếu nó có ba ước dương phân biệt có tổng bằng $2022$ . Xác định số Na Uy nhỏ nhất.

N2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n>2$ sao cho

$\displaystyle n! \mid \prod_{ p<q\le n,\quad p,q\in\mathbb{P}} (p+q).$

N3. Cho $a > 1$ là một số nguyên dương và $d > 1$ là một số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $a$ . Đặt $x_1=1$ và với $k\geq 1$ , $x_{k+1} = x_k + d$ nếu không chia hết $x_k$ , $=x_k/a$ nếu $a$ chia hết $x_k$ . Tìm, theo $a$ và $d$ , số nguyên dương $n$ lớn nhất mà tồn tại chỉ số $k$ sao cho $x_k$ chia hết cho $a^n$ .

N4. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,b,p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố và $a^p=b!+p.$

(IMO2022/5)

N5. Đối với mỗi $i\in [9]$ và $T\in\mathbb{N}^*$ , ký hiệu $d_i(T)$ là số lần chữ số $i$ xuất hiện khi tất cả các bội của $1829$ trong $[T]$ được viết ra theo cơ số $10$ . Chứng minh rằng có vô số $T\in\mathbb{N}^*$ sao cho có đúng hai giá trị phân biệt trong các số $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

N6. Cho $Q$ là một tập hợp không nhất thiết hữu hạn các số nguyên tố. Đối với một số nguyên dương $n$ , xét phân tích ra thừa số nguyên tố của nó: gọi $p(n)$ là tổng của tất cả các số mũ và $q(n)$ là tổng của các số mũ tương ứng với các số nguyên tố trong $Q$ . Số nguyên dương $n$ được gọi là đặc biệt nếu $p(n)+p(n+1)$ và $q(n)+q(n+1)$ đều là số nguyên chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $c>0$ không phụ thuộc $Q$ sao cho với mọi số nguyên dương $N>100$ , số các số nguyên đặc biệt trong $[N]$ ít nhất là $cN$ .

N7. Gọi $k$ là một số nguyên dương và $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng có nhiều nhất một cách (sai khác phép quay và đối xứng) để đặt các phần tử của $S$ xung quanh một đường tròn sao cho tích của hai số cạnh nhau bất kỳ có dạng $x^2+x+k$ với một số nguyên dương $x$ .