IMO Shortlist 2024: Algebra

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán đại số trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Phần hình học của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358923p31205921

Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ , số

$[\alpha]+[2\alpha]+\cdots+[n\alpha]$

chia hết cho $n$ . (IMO2024/1)

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610446p35340919

Cho $n$ là một số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của

$S = 2^0 x_0^2 + 2^1 x_1^2 + \dots + 2^n x_n^2,$

trong đó $x_0, x_1, \dots, x_n$ là các số nguyên không âm sao cho $x_0 + x_1 + \dots + x_n = n$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610463p35340954

Hãy xác định xem với mọi dãy số thực dương $(a_n)$ ,

$\displaystyle\frac{3^{a_1}+3^{a_2}+\cdots+3^{a_n}}{(2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n})^2} < \frac{1}{2024}$

có đúng với ít nhất một số nguyên dương $n$ hay không.

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610435p35340902

Tìm tất cả các tập con $\mathcal{S}$ của $\{2^{0},2^{1},2^{2},\ldots\}$ sao cho tồn tại một hàm $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ với

$\mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.$

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610458p35340939

Tìm tất cả các dãy số tuần hoàn $a_1,a_2,\dots$ gồm các số thực sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$a_{n+2}+a_{n}^2=a_n+a_{n+1}^2$

và $|a_{n+1}-a_n|\leqslant 1.$

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610454p35340929

Cho $a_0, a_1, a_2, \ldots$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho với mỗi $n \ge 1$ , ta có

$\displaystyle a_n \in \left\{ \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} \right\}.$

Cho $b_1, b_2, \ldots$ là một dãy vô hạn các chữ cái được xác định bởi

$b_n = A$ nếu $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$ , $=G$ trong trường hợp còn lại. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $n_0$ và $d$ sao cho với mọi $n \ge n_0$ ta có $b_{n+d} = b_n$ .

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359771p31218720

Một hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ được gọi là đẹp nếu với mỗi số hữu tỷ $x$ và $y$ , $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$ , có không quá $c$ số hữu tỷ có dạng $f(r)+f(-r)$ , với số hữu tỷ $r$ nào đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của các số $c$ có tính chất này. (IMO2024/6)

A8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610460p35340944

Cho $p \ne q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xác định tất cả các dãy vô hạn $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) = p$

và $\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) = q$ .

Formal power series

Định nghĩa 1. Một chuỗi lũy thừa hình thức là một biểu diễn có dạng

$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots,$

hay gọn hơn $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k.$ Trong đó $(a_n)_{n\geq 0}$ là một dãy các số phức. Các $a_i$ được gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa hình thức, $a_0$ được gọi là hệ số tự do của chuỗi lũy thừa hình thức.

Từ “hình thức” trong định nghĩa trên có nghĩa là ta không bận tâm đến việc cho $x$ các giá trị đặc biệt, ta cũng không quan tâm đến tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Tập tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số thuộc một tập hợp $A$ được ký hiệu bởi $A[[x]]$ . Với một chuỗi lũy thừa hình thức $a(x)$ , ta ký hiệu hệ số của $x^n$ trong chuỗi này bởi $[x^n]a(x)$ .

Nếu $a_i=0$ với mọi $i>m$ thì để cho gọn, chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ sẽ được viết là

$a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m.$

Chuỗi lũy thừa hình thức với tất cả các hệ số bằng $0$ được gọi là chuỗi không, ký hiệu là $0$ . Tổng và tích của hai chuỗi lũy thừa hình thức $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ và $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$ được định nghĩa bởi

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n+\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n$

và

$\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)x^n.$

Với hai phép toán này thì $\mathbb{C}[[x]]$ là một vành giao hoán có đơn vị là chuỗi đơn vị $1+0x^1+0x^2+0x^3+\ldots,$ ký hiệu là $1$ .

Tương tự như với các số phức, ta có kết quả sau:

Định lý 1. Nếu $a$ và $b$ là các phần tử khác không của $\mathbb{C}[[x]]$ , thì chuỗi tích $ab$ cũng khác chuỗi không.

Chứng minh. Gọi $m$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $[x^m]a\not=0$ , và $n$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $[x^n]b\not=0$ . Khi đó

$[x^{m+n}](ab)=([x^m]a)([x^n]b)\not=0,$

suy ra $ab$ khác chuỗi không. $\Box$

Khác với phép nhân trong tập các số phức, không phải mọi chuỗi khác không đều có nghịch đảo. Chẳng hạn, khi $a(x)=0+x+0x^2+0x^3+\ldots,$ (chuỗi này thường được viết là $a(x)=x$ ) thì $a(x)\not=0$ nhưng không có chuỗi $b(x)$ để $a(x)b(x)=1$ .

Định lý 2. Chuỗi $a(x)$ có nghịch đảo khi và chỉ khi $[x^0]a(x)\not=0$ .

Chứng minh. Giả sử chuỗi $a(x)$ có nghịch đảo, và $b(x)$ là nghịch đảo của nó. Khi đó

$1=[x^0](ab)=([x^0]a)([x^0]b),$

suy ra $[x^0]a(x)\not=0$ .

Bây giờ giả sử $\displaystyle a(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ là một chuỗi lũy thừa hình thức có $a_0=[x^0]a(x)\not=0$ . Chuỗi lũy thừa hình thức $\displaystyle b(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$ là nghịch đảo của $a(x)$ khi và chỉ khi $a_0b_0=1$ và

$\displaystyle\sum _{k=0}^na_kb_{n-k}=0,\quad\forall n\geq 1.$

Từ hệ này ta có thể xác định $b(x)$ bởi $b_0=1/a_0$ và

$\displaystyle b_n=-\frac{1}{a_0}\sum _{k=1}^na_kb_{n-k},\quad\forall n\geq 1.$ $\Box$

Khi $a$ là một chuỗi có nghịch đảo thì ta ký hiệu chuỗi nghịch đảo của nó bởi $a^{-1}$ . Tích của chuỗi $b$ và chuỗi $a^{-1}$ thường được viết là $\frac{b}{a}$ .

Ví dụ. Chuỗi lũy thừa hình thức $1-x$ có nghịch đảo là chuỗi

$\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots$

Định nghĩa 2. Dãy các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức $\{S_n(x)\}_{n\geq 1}$ được gọi là hội tụ đến chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức $S(x)$ , ký hiệu $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n(x)=S(x)$ , nếu với mỗi $n\geq 0$ có số nguyên dương $N$ sao cho $[x^n]S_i(x)=[x^n]S(x)$ mỗi khi $i\geq N$ . Trong trường hợp này ta nói $\{S_n(x)\}_{n\geq 1}$ là một dãy hội tụ.

Khi $\displaystyle A(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ là một phần tử khác không của $\mathbb{C}[[x]]$ , ta gọi bậc của $A(x)$ , ký hiệu $\deg A(x)$ , là số $n$ nhỏ nhất sao cho $a_n\not=0$ . Dễ thấy nếu $B(x)$ và $C(x)$ là các phần tử khác không của $\mathbb{C}[[x]]$ thì $B(x)C(x)$ cũng là một phần tử khác không của $\mathbb{C}[[x]]$ , và

$\deg B(x)C(x)=\deg B(x)+\deg C(x).$

Ta quy ước $\deg 0=\infty$ . Sử dụng bậc của một chuỗi lũy thừa hình thức ta có một định nghĩa khác của tính hội tụ của dãy các chuỗi lũy thừa hình thức.

Continue reading →

Viet Nam TST 2025/1

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 1 trong kỳ thi chọn đội IMO 2025 của Việt Nam.

VNTST2025/1. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ sao cho với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ , ta có

$\displaystyle\frac{f(x)f(y)}{f(xy)}=\frac{(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^2}{f(x+y)}.$

Lời giải. Trả lời: $f(x)=4,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ hoặc $f(x)=x^2,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ . Kiểm tra ta thấy hai hàm số này thỏa mãn các yêu cầu của đề bài, sau đây ta chứng minh không còn hàm số nào khác.

Giả sử $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ là một hàm số thỏa mãn các yêu cầu của đề bài. Khi đó với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ ,

$\displaystyle\frac{f(x)f(y)}{f(xy)}=\frac{(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^2}{f(x+y)}.\quad\quad (1)$

Gọi $S$ là tập các số thực dương có dạng $\sqrt{r}$ , trong đó $r$ là một số hữu tỷ dương. Xét hàm số $g:\mathbb{Q}^+\to S$ xác định bởi $g(x)=\sqrt{f(x)}$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ . Từ $(1)$ ta được

$\displaystyle\frac{g(x)g(y)}{g(xy)}=\frac{g(x)+g(y)}{g(x+y)}$

với mọi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ . (2)

Từ $(2)$ , với $x=y=1$ ta thu được $g(2)=2$ . Cũng từ $(2)$ , với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ ta có $(g(x)+g(y))^2$ là một số hữu tỷ. Suy ra $g(x)g(y)$ là một số hữu tỷ với mọi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ . Nói riêng, khi $y=2$ ta có $g(x)$ là một số hữu tỷ dương với mọi số hữu tỷ dương $x$ . Trong $(2)$ , chọn $y=2$ và $x=3$ ta có

$\displaystyle\frac{2g(3)}{g(6)}=\frac{g(3)+2}{g(5)}.\quad (3)$

Cũng từ $(2)$ , với $y=1$ ta có

$\displaystyle g(x+1)=\frac{1}{g(1)}g(x)+1$

với mọi số hữu tỷ dương $x$ . (4)

Từ đây ta tính được cả ba số $g(3)$ , $g(5)$ và $g(6)$ theo $g(1)$ . Thay lại $(3)$ và chú ý $g(1)$ là một số hữu tỷ dương ta có $g(1)\in \{1;2\}$ . Đến đây ta xét từng trường hợp.

Trường hợp 1: $g(1)=2$ .

Bằng quy nạp theo $n$ , từ (4) ta có $g(n)=2$ và

$\displaystyle g(x+n)=\frac{1}{2^n}g(x)+2-\frac{1}{2^{n-1}}$

với mọi số nguyên dương $n$ và số hữu tỷ dương $x$ . (5)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương $r$ . Tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $rn$ là một số nguyên dương. Với các số $n$ này, từ (2) ta có

$\displaystyle g(r)=\frac{g(r)+2}{g(r+n)}.$

Như vậy $g(r+n)$ không đổi, kết hợp với (5) ta có $g(r)=2$ . Suy ra $g(x)=2$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ .

Trường hợp 2: $g(1)=1$ .

Bằng quy nạp theo $n$ , từ (4) ta có $g(n)=n$ và

$g(x+n)=g(x)+n$ với mọi số nguyên dương $n$ và số hữu tỷ dương $x$ . (6)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương $r$ . Tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $rn$ là một số nguyên dương. Trong (2), chọn $x=r$ và $y=n$ , đồng thời dùng (6) ta có $g(r)=r$ . Suy ra $g(x)=x$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ .

Như vậy $f(x)=4,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ hoặc $f(x)=x^2,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ . $\Box$

IMO Shortlist 2023: Algebra

Phần Hình học các bạn xem ở đây https://nttuan.org/2024/11/02/isl2023-geometry/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359728p31218381

Giáo sư Oak đang cho $100$ Pokemon của mình ăn. Mỗi Pokemon có một chiếc bát có sức chứa là số thực dương kilogam. Những sức chứa này đã được Giáo sư biết đến. Tổng sức chứa của tất cả các bát là $100$ kg. Giáo sư Oak phân phát $100$ kg thức ăn theo cách mà mỗi Pokemon nhận được số nguyên không âm kg thức ăn (có thể lớn hơn dung tích của bát). Mức độ không hài lòng của Pokemon nhận được $N$ kg thức ăn và bát của nó có sức chứa $C$ kg là $\lvert N-C\rvert$ . Tìm số thực nhỏ nhất $D$ sao cho bất kể dung tích của các bát như thế nào, Giáo sư Oak có thể phân phát thức ăn sao cho tổng các mức độ không hài lòng của tất cả các Pokemon nhiều nhất là $D$ .

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359723p31218373

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)f(x-y)\geqslant f(x)^2-f(y)^2$ với mọi số thực $x$ và $y$ . Giả sử có bất đẳng thức thực sự với hai số thực $x_0$ và $y_0$ nào đó. Chứng minh rằng $f(x)\geqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ hoặc $f(x)\leqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107339p28104298

Cho $2023$ số thực dương $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ đôi một khác nhau thỏa mãn $a_n=\sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}$ là số nguyên với mọi $n=1,2,\ldots,2023$ . Chứng minh rằng $a_{2023}\geq 3034$ . (IMO2023/4)

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359742p31218446

Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ sao cho

$x \cdot \left(f(x) + f(y)\right) \geq \left(f(f(x)) + y\right) \cdot f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359722p31218372

Cho các số nguyên dương $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ thỏa mãn

(1) $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ là một hoán vị của $1$ , $2$ , $\dots$ , $2023$ , và

(2) $|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{2022}-a_{2023}|$ là một hoán vị của $1$ , $2$ , $\dots$ , $2022$ .

Chứng minh rằng $\max(a_1,a_{2023})\ge 507$ .

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106754p28097579

Với số nguyên $k>1,$ tìm tất cả các dãy vô hạn số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ sao cho tồn tại đa thức $P$ với hệ số nguyên không âm có dạng $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ để $P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$ với mọi số nguyên dương $n.$ (IMO2023/3)

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359726p31218377

Cho số nguyên dương $N$ . Chứng minh rằng có ba hoán vị $a_1$ , $\dots$ , $a_N$ , $b_1$ , $\dots$ , $b_N$ , và $c_1$ , $\dots$ , $c_N$ của $1$ , $\dots$ , $N$ sao cho $\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{N}\right|<2023$ với mọi $k=1,2,\dots,N$ .