IMO Shortlist 2024: Algebra

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán đại số trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Phần hình học của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358923p31205921

Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ , số

$[\alpha]+[2\alpha]+\cdots+[n\alpha]$

chia hết cho $n$ . (IMO2024/1)

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610446p35340919

Cho $n$ là một số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của

$S = 2^0 x_0^2 + 2^1 x_1^2 + \dots + 2^n x_n^2,$

trong đó $x_0, x_1, \dots, x_n$ là các số nguyên không âm sao cho $x_0 + x_1 + \dots + x_n = n$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610463p35340954

Hãy xác định xem với mọi dãy số thực dương $(a_n)$ ,

$\displaystyle\frac{3^{a_1}+3^{a_2}+\cdots+3^{a_n}}{(2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_n})^2} < \frac{1}{2024}$

có đúng với ít nhất một số nguyên dương $n$ hay không.

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610435p35340902

Tìm tất cả các tập con $\mathcal{S}$ của $\{2^{0},2^{1},2^{2},\ldots\}$ sao cho tồn tại một hàm $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ với

$\mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.$

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610458p35340939

Tìm tất cả các dãy số tuần hoàn $a_1,a_2,\dots$ gồm các số thực sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$a_{n+2}+a_{n}^2=a_n+a_{n+1}^2$

và $|a_{n+1}-a_n|\leqslant 1.$

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610454p35340929

Cho $a_0, a_1, a_2, \ldots$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho với mỗi $n \ge 1$ , ta có

$\displaystyle a_n \in \left\{ \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} \right\}.$

Cho $b_1, b_2, \ldots$ là một dãy vô hạn các chữ cái được xác định bởi

$b_n = A$ nếu $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n+1})$ , $=G$ trong trường hợp còn lại. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $n_0$ và $d$ sao cho với mọi $n \ge n_0$ ta có $b_{n+d} = b_n$ .

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359771p31218720

Một hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ được gọi là đẹp nếu với mỗi số hữu tỷ $x$ và $y$ , $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$ , có không quá $c$ số hữu tỷ có dạng $f(r)+f(-r)$ , với số hữu tỷ $r$ nào đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của các số $c$ có tính chất này. (IMO2024/6)

A8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610460p35340944

Cho $p \ne q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xác định tất cả các dãy vô hạn $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ ,

$\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) = p$

và $\max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) = q$ .

IMO2025/3

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 3 trong đề IMO 2025. Đề thi đầy đủ tôi đã đăng ở đây: https://nttuan.org/2025/07/01/imo-2025-problems-and-results/ .

IMO2025/3. Một hàm $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$ được gọi là bonza nếu $f(a)\mid b^a-f(b)^{f(a)}$ với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ .
Xác định hằng số thực nhỏ nhất $c$ sao cho $f(n)\leqslant cn$ với mọi hàm bonza $f$ và mọi số nguyên dương $n$ .

imo2025p3 Download

Viet Nam TST 2025/1

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 1 trong kỳ thi chọn đội IMO 2025 của Việt Nam.

VNTST2025/1. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ sao cho với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ , ta có

$\displaystyle\frac{f(x)f(y)}{f(xy)}=\frac{(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^2}{f(x+y)}.$

Lời giải. Trả lời: $f(x)=4,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ hoặc $f(x)=x^2,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ . Kiểm tra ta thấy hai hàm số này thỏa mãn các yêu cầu của đề bài, sau đây ta chứng minh không còn hàm số nào khác.

Giả sử $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ là một hàm số thỏa mãn các yêu cầu của đề bài. Khi đó với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ ,

$\displaystyle\frac{f(x)f(y)}{f(xy)}=\frac{(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^2}{f(x+y)}.\quad\quad (1)$

Gọi $S$ là tập các số thực dương có dạng $\sqrt{r}$ , trong đó $r$ là một số hữu tỷ dương. Xét hàm số $g:\mathbb{Q}^+\to S$ xác định bởi $g(x)=\sqrt{f(x)}$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ . Từ $(1)$ ta được

$\displaystyle\frac{g(x)g(y)}{g(xy)}=\frac{g(x)+g(y)}{g(x+y)}$

với mọi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ . (2)

Từ $(2)$ , với $x=y=1$ ta thu được $g(2)=2$ . Cũng từ $(2)$ , với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ ta có $(g(x)+g(y))^2$ là một số hữu tỷ. Suy ra $g(x)g(y)$ là một số hữu tỷ với mọi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ . Nói riêng, khi $y=2$ ta có $g(x)$ là một số hữu tỷ dương với mọi số hữu tỷ dương $x$ . Trong $(2)$ , chọn $y=2$ và $x=3$ ta có

$\displaystyle\frac{2g(3)}{g(6)}=\frac{g(3)+2}{g(5)}.\quad (3)$

Cũng từ $(2)$ , với $y=1$ ta có

$\displaystyle g(x+1)=\frac{1}{g(1)}g(x)+1$

với mọi số hữu tỷ dương $x$ . (4)

Từ đây ta tính được cả ba số $g(3)$ , $g(5)$ và $g(6)$ theo $g(1)$ . Thay lại $(3)$ và chú ý $g(1)$ là một số hữu tỷ dương ta có $g(1)\in \{1;2\}$ . Đến đây ta xét từng trường hợp.

Trường hợp 1: $g(1)=2$ .

Bằng quy nạp theo $n$ , từ (4) ta có $g(n)=2$ và

$\displaystyle g(x+n)=\frac{1}{2^n}g(x)+2-\frac{1}{2^{n-1}}$

với mọi số nguyên dương $n$ và số hữu tỷ dương $x$ . (5)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương $r$ . Tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $rn$ là một số nguyên dương. Với các số $n$ này, từ (2) ta có

$\displaystyle g(r)=\frac{g(r)+2}{g(r+n)}.$

Như vậy $g(r+n)$ không đổi, kết hợp với (5) ta có $g(r)=2$ . Suy ra $g(x)=2$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ .

Trường hợp 2: $g(1)=1$ .

Bằng quy nạp theo $n$ , từ (4) ta có $g(n)=n$ và

$g(x+n)=g(x)+n$ với mọi số nguyên dương $n$ và số hữu tỷ dương $x$ . (6)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương $r$ . Tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $rn$ là một số nguyên dương. Trong (2), chọn $x=r$ và $y=n$ , đồng thời dùng (6) ta có $g(r)=r$ . Suy ra $g(x)=x$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ .

Như vậy $f(x)=4,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ hoặc $f(x)=x^2,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ . $\Box$

IMO Shortlist 2022: Number theory

N1. Một số nguyên dương được gọi là số Na Uy nếu nó có ba ước dương phân biệt có tổng bằng $2022$ . Xác định số Na Uy nhỏ nhất.

N2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n>2$ sao cho

$\displaystyle n! \mid \prod_{ p<q\le n,\quad p,q\in\mathbb{P}} (p+q).$

N3. Cho $a > 1$ là một số nguyên dương và $d > 1$ là một số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $a$ . Đặt $x_1=1$ và với $k\geq 1$ , $x_{k+1} = x_k + d$ nếu không chia hết $x_k$ , $=x_k/a$ nếu $a$ chia hết $x_k$ . Tìm, theo $a$ và $d$ , số nguyên dương $n$ lớn nhất mà tồn tại chỉ số $k$ sao cho $x_k$ chia hết cho $a^n$ .

N4. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,b,p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố và $a^p=b!+p.$

(IMO2022/5)

N5. Đối với mỗi $i\in [9]$ và $T\in\mathbb{N}^*$ , ký hiệu $d_i(T)$ là số lần chữ số $i$ xuất hiện khi tất cả các bội của $1829$ trong $[T]$ được viết ra theo cơ số $10$ . Chứng minh rằng có vô số $T\in\mathbb{N}^*$ sao cho có đúng hai giá trị phân biệt trong các số $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

N6. Cho $Q$ là một tập hợp không nhất thiết hữu hạn các số nguyên tố. Đối với một số nguyên dương $n$ , xét phân tích ra thừa số nguyên tố của nó: gọi $p(n)$ là tổng của tất cả các số mũ và $q(n)$ là tổng của các số mũ tương ứng với các số nguyên tố trong $Q$ . Số nguyên dương $n$ được gọi là đặc biệt nếu $p(n)+p(n+1)$ và $q(n)+q(n+1)$ đều là số nguyên chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $c>0$ không phụ thuộc $Q$ sao cho với mọi số nguyên dương $N>100$ , số các số nguyên đặc biệt trong $[N]$ ít nhất là $cN$ .

N7. Gọi $k$ là một số nguyên dương và $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng có nhiều nhất một cách (sai khác phép quay và đối xứng) để đặt các phần tử của $S$ xung quanh một đường tròn sao cho tích của hai số cạnh nhau bất kỳ có dạng $x^2+x+k$ với một số nguyên dương $x$ .