November 14, 2025

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bài toán số học trong cuốn IMO Shortlist 2024, các bài toán từ IMO SL năm trước các bạn có thể tìm ở https://nttuan.org/category/contests/imo-shortlist/ .

Các phần hình học và đại số của bộ 2024 tôi đã đăng ở đây

A. https://nttuan.org/2025/09/03/isl2024a/

G. https://nttuan.org/2025/08/07/isl2024g/

N1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610447p35340920

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn tính chất sau: với mọi ước số dương $d$ của $n$ , ta có $d+1\mid n$ hoặc $d+1$ là số nguyên tố.

N2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610444p35340915

Xác định tất cả các tập hợp hữu hạn, khác rỗng $\mathcal{S}$ các số nguyên dương sao cho với mọi $a,b\in\mathcal{S}$ tồn tại $c\in\mathcal{S}$ thỏa mãn $a\mid b+2c$ .

N3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610437p35340905

Xác định tất cả các dãy số $a_1, a_2, \dots$ các số nguyên dương sao cho với mọi cặp số nguyên dương $m\leqslant n$ , trung bình cộng và trung bình nhân

$\displaystyle \frac{a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n}{n-m+1}$ và $\displaystyle (a_ma_{m+1}\cdots a_n)^{\frac{1}{n-m+1}}$ đều là các số nguyên.

N4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358926p31205957

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g$ và $N$ thỏa mãn $(a^n+b,b^n+a)=g$ với mọi số nguyên $n\geq N$ . (IMO2024/2)

N5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610445p35340917

Cho $\mathcal{S}$ là một tập hợp hữu hạn khác rỗng các số nguyên tố. Giả sử $1 = b_1 < b_2 < \dots$ là dãy tất cả các số nguyên dương mà các ước nguyên tố đều thuộc $\mathcal{S}$ . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ đủ lớn, tồn tại các số nguyên dương $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho

$\displaystyle \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \dots + \frac{a_n}{b_n} = \left\lceil \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \right\rceil.$

N6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3610457p35340935

Cho $n$ là một số nguyên dương. Ta nói một đa thức $P$ với các hệ số nguyên là $n$ -tốt nếu tồn tại một đa thức $Q$ bậc $2$ với các hệ số nguyên sao cho $Q(k)(P(k) + Q(k))$ không chia hết cho $n$ với mọi số nguyên $k$ . Xác định tất cả các số nguyên $n$ sao cho mọi đa thức với các hệ số nguyên là một đa thức $n$ -tốt.