IMO2025/2

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 2 trong đề IMO 2025. Đề thi đầy đủ tôi đã đăng ở đây: https://nttuan.org/2025/07/01/imo-2025-problems-and-results/ . Không như nhiều bài thi IMO khác, bài toán này có hướng giải rõ ràng ngay từ đầu, theo tôi là vậy.

IMO2025/2. Cho $\Omega$ và $\Gamma$ là hai đường tròn có tâm lần lượt là $M$ và $N$ sao cho bán kính của $\Omega$ nhỏ hơn bán kính của $\Gamma$ . Giả sử $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ . Đường thẳng $MN$ cắt $\Omega$ tại $C$ và $\Gamma$ tại $D$ sao cho $C, M, N, D$ nằm trên $MN$ theo thứ tự đó. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ . Đường thẳng $AP$ cắt $\Omega$ lần nữa tại $E\neq A$ và cắt $\Gamma$ lần nữa tại $F\neq A$ . Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $PMN$ .

Chứng minh rằng đường thẳng qua $H$ song song với $AP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$ .

Lời giải. Gọi $T$ là điểm chính giữa của cung $EF$ không chứa $B$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$ . Bài toán sẽ được giải nếu ta chứng minh được $HT\parallel EF$ .

Ta có $\angle BEF = 2 \angle ACD$ và $\angle BFE= 2\angle ADC$ , suy ra $\angle CPD =\angle ETF$ . Từ đây ta chứng minh được $M$ , $E$ và $T$ là ba điểm thẳng hàng.

Vì $AB\bot CD$ và $P$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ nên $\angle CAB =\angle DAP$ , do đó hai đường thẳng $DF$ và $CA$ là hai đường thẳng song song. Bởi vậy, nếu gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $CB$ và $DF$ thì nó phải nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$ . Vì tam giác $XCD$ là tam giác cân tại $X$ và $PC=PD$ nên đường thẳng $PH$ đi qua $X$ .

Ta thấy $PN$ là đường trung trực của đoạn $AD$ và $P$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ nên

$\angle APN =\frac{1}{2} APD =\angle ACN,$

suy ra tứ giác $PCAN$ là một tứ giác nội tiếp. Từ đây ta có $\angle MTX =\angle MHX$ , do đó $MHTX$ cũng là một tứ giác nội tiếp. Vì hai tam giác $XBE$ và $PAC$ đồng dạng nên $XB=XE$ . Suy ra