Month: July 2025

IMO2025/3


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 3 trong đề IMO 2025. Đề thi đầy đủ tôi đã đăng ở đây: https://nttuan.org/2025/07/01/imo-2025-problems-and-results/ .

IMO2025/3. Một hàm f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* được gọi là bonza nếu f(a)\mid b^a-f(b)^{f(a)} với mọi số nguyên dương a và b.
Xác định hằng số thực nhỏ nhất c sao cho f(n)\leqslant cn với mọi hàm bonza f và mọi số nguyên dương n.

imo2025p3Download

IMO2025/2


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 2 trong đề IMO 2025. Đề thi đầy đủ tôi đã đăng ở đây: https://nttuan.org/2025/07/01/imo-2025-problems-and-results/ . Không như nhiều bài thi IMO khác, bài toán này có hướng giải rõ ràng ngay từ đầu, theo tôi là vậy.

IMO2025/2. Cho \Omega và \Gamma là hai đường tròn có tâm lần lượt là M và N sao cho bán kính của \Omega nhỏ hơn bán kính của \Gamma. Giả sử \Omega và \Gamma cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Đường thẳng MN cắt \Omega tại C và \Gamma tại D sao cho C, M, N, D nằm trên MN theo thứ tự đó. Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Đường thẳng AP cắt \Omega lần nữa tại E\neq A và cắt \Gamma lần nữa tại F\neq A. Gọi H là trực tâm của tam giác PMN.

Chứng minh rằng đường thẳng qua H song song với AP tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.

Lời giải. Gọi T là điểm chính giữa của cung EF không chứa B của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF. Bài toán sẽ được giải nếu ta chứng minh được HT\parallel EF.

Ta có \angle BEF = 2 \angle ACD và \angle BFE= 2\angle ADC, suy ra \angle CPD =\angle ETF. Từ đây ta chứng minh được M, E và T là ba điểm thẳng hàng.

Vì AB\bot CD và P là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD nên \angle CAB =\angle DAP, do đó hai đường thẳng DF và CA là hai đường thẳng song song. Bởi vậy, nếu gọi X là giao điểm của hai đường thẳng CB và DF thì nó phải nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF. Vì tam giác XCD là tam giác cân tại X và PC=PD nên đường thẳng PH đi qua X.

Ta thấy PN là đường trung trực của đoạn AD và P là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD nên

\angle APN =\frac{1}{2} APD =\angle ACN,

suy ra tứ giác PCAN là một tứ giác nội tiếp. Từ đây ta có \angle MTX =\angle MHX, do đó MHTX cũng là một tứ giác nội tiếp. Vì hai tam giác XBE và PAC đồng dạng nên XB=XE. Suy ra

\angle BAP = \angle TMX=\angle THP,

do đó HT\parallel EF. \Box

IMO 2025: Problems and results


Olympic Toán học Quốc tế (IMO) 2025 là kỳ thi toán học danh giá nhất dành cho học sinh trung học, được tổ chức tại Sunshine Coast, Queensland, Australia từ ngày 10 đến 20 tháng 7 năm 2025. Đây là lần thứ 66 của cuộc thi, quy tụ các tài năng toán học trẻ từ hơn 100 quốc gia, tranh tài qua 6 bài toán khó trong các lĩnh vực như đại số, hình học, số học và tổ hợp. Việt Nam, với truyền thống thành tích ấn tượng tại IMO từ năm 1974, tiếp tục cử đội tuyển gồm 6 học sinh xuất sắc tham dự kỳ thi năm nay. Đội tuyển được lựa chọn qua Kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và Kỳ thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế, thể hiện sự chuẩn bị kỹ lưỡng của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Theo thông tin chính thức, danh sách đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2025 bao gồm:

  1. Nguyễn Đình Tùng (lớp 11, Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội).
  2. Trần Minh Hoàng (lớp 12, Trường THPT chuyên Hà Tĩnh).
  3. Võ Trọng Khải (lớp 12, Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An).
  4. Trương Thanh Xuân (lớp 11, Trường THPT chuyên Bắc Ninh) – nữ sinh duy nhất sau 5 năm.
  5. Nguyễn Đăng Dũng (lớp 12, Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội).
  6. Lê Phan Đức Mân (lớp 12, Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP. Hồ Chí Minh).

Đội tuyển được dẫn dắt bởi trưởng đoàn TS. Nguyễn Chu Gia Vượng, cựu thí sinh IMO 1993 (HCV) và 1994 (HCB), và phó đoàn TS. Lê Bá Khánh Trình, người từng giành giải đặc biệt tại IMO 1979. Cả hai đều là những chuyên gia dày dạn kinh nghiệm trong bồi dưỡng học sinh giỏi.

Dưới đây là đề thi và kết quả.

Đề thi:

2025_vieDownload

Những bài toán này được thiết kế để thử thách các học sinh trung học hàng đầu thế giới, bao gồm các lĩnh vực cốt lõi của toán học trung học: đại số, hình học, lý thuyết số và tổ hợp.

Các bài toán IMO thường được thiết kế theo hướng tăng dần độ khó theo từng ngày, với Bài toán 1 (P1) và Bài toán 4 (P4) thường dễ tiếp cận nhất, Bài toán 2 (P2) và 5 (P5) có độ khó trung bình, và Bài toán 3 (P3) và 6 (P6) là khó nhất. Đối với IMO 2025, mô hình này dường như vẫn được duy trì dựa trên phản hồi từ AoPS, một diễn đàn nổi tiếng về toán Olympiad.

Kết quả của đội Việt Nam: 2 HCV, 3 HCB, và 1 HCĐ. Cụ thể: Khải và Hoàng đạt HCV; Dũng, Tùng và Mân đạt HCB; Xuân đạt HCĐ. Đội đứng thứ 9 về tổng điểm.

Các thí sinh có điểm cao nhất:

Em Khải góp mặt ở vị trí 8. 🙂 Có lẽ vì bài 2 và bài 3 quá dễ mà điểm để đạt HCV rất cao, 35 điểm!

10 đội có tổng điểm cao nhất:

Đội Việt Nam đứng thứ 9. 🙂

Kết thúc cuộc thi, BTC cũng vừa công bố IMO2024SL.