Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lớp dãy hay gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp. Chứng minh định lí chính trong bài là của Adrian Sandovichi. Để theo dõi cho dễ, các em học sinh nên đọc lại bài sau:
Định nghĩa.Cho dãy số thực không âm và số nguyên . Dãy số được gọi là một dãy lồi dưới cấp nếu có các số thực sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) và
(2)
Mọi dãy lồi dưới cấp đều có giới hạn bằng Trong định nghĩa trên, nếu dãy số có giới hạn hữu hạn và thì
Định lí.Cho số nguyên dương . Khi đó mọi dãy lồi dưới cấp đều có giới hạn hữu hạn.
Chứng minh. Gọi là một dãy lồi dưới cấp . Khi đó tồn tại các số thực sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(1) và
(2)
Xét dãy số xác định bởi với mọi số nguyên Ta thấy là một dãy số không tăng và bị chặn dưới bởi nên nó có giới hạn hữu hạn không âm, đặt . Ta sẽ chứng minh có giới hạn hữu hạn và .
Với mọi số thực dương , cố định nó.
Đặt Vì và là giới hạn của dãy số không tăng nên tồn tại số nguyên dương để
Bây giờ ta chứng minh
Giả sử tồn tại số nguyên dương sao cho
Mệnh đề.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo Với , từ và cách chọn ta có
Suy ra khẳng định đúng với Giả sử khẳng định đúng đến , ta chứng minh nó đúng với Theo giả thiết quy nạp, và cách chọn ta có
Suy ra khẳng định đúng với . Theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề là đúng.
Từ mệnh đề trên và định nghĩa của ta có do đó , không thể xảy ra điều này do là dãy giảm và là giới hạn của nó. Vậy đúng.
Từ và ta có
suy ra Định lí được chứng minh.
Do khuôn khổ của một bài viết trên blog nên tôi không cho thêm các ví dụ và bài tập liên quan đến Toán Olympic, tôi sẽ làm việc này vào một dịp khác. Bài viết cũng là tài liệu tự đọc cho các bạn học sinh lớp 10,11 đang theo học tại .
T's Lab 