Perfect rulers

Algebra, Algebraic combinatorics, Analysis, Combinatorics, Polynomials, Problems and solutions, ProofWiki, Real and complex analysis 2 Minutes

Giả sử ta có một cái thước kẻ dài \displaystyle 6, trên đó đã đánh dấu các điểm \displaystyle 0, \displaystyle 1, \displaystyle 2, \displaystyle 3, \displaystyle 4, \displaystyle 5, \displaystyle 6. Sử dụng chiếc thước này ta có thể tạo mọi đoạn có độ dài thuộc \displaystyle [6], nhưng ta không cần đánh dấu trên thước nhiều điểm như thế để đạt được điều này. Ta có thể đánh dấu \displaystyle 0, \displaystyle 1, \displaystyle 4, 6 là đủ (đoạn độ dài 2 được đo giữa hai điểm 4 và 6, đoạn độ dài 3 được đo giữa 1 và 4, đoạn độ dài 4 được đo giữa 0 và 4, đoạn độ dài 5 được đo giữa 1 và 6). Vì C_4^2=6 nên hoàn cảnh này là hoàn hảo.

Bài toán. Cho một số nguyên n lớn hơn 4. Chứng minh rằng không tồn tại n số tự nhiên phân biệt a_1, a_2, \ldots, a_n sao cho mọi số nguyên dương không vượt quá C_n^2 đều có dạng a_i-a_j.

Lời giải. Giả sử ngược lại, tồn tại n số tự nhiên phân biệt a_1, a_2, \ldots, a_n sao cho mọi số nguyên dương không vượt quá C_n^2 đều có dạng a_i-a_j.

Xét đa thức \displaystyle A(z) = \sum_i z^{a_i}. Theo tính chất của các số a_1, a_2, \ldots, a_n, ta có

\displaystyle A(z) \cdot A\left(\frac{1}{z}\right)=\sum_{k=-C_n^2}^{C_n^2} z^k+n-1,\quad \forall z\in\mathbb{C}\setminus \{0\}.

Với z\in\mathbb{C}\setminus\{0;1\}, từ đẳng thức trên ta thu được

\displaystyle A(z) \cdot A\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{z^{C_n^2+1}-z^{-C_n^2}}{z-1}+n-1.

Nói riêng, khi \displaystyle z= z_0: = \cos\left( \frac{3\pi}{n^2-n+1} \right)+i\sin\left( \frac{3\pi}{n^2-n+1} \right), ta có

\displaystyle \left|A\left(z_0\right)\right|^2=\frac{-1}{\sin \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3\pi}{n^2-n+1}\right)}+n-1.

Vì vế trái của đẳng thức trên là số thực không âm và \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{3\pi}{n^2-n+1}\in \left(0;\pi/2\right) nên

\displaystyle \sin \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3\pi}{n^2-n+1}\right)\geq\frac{1}{n-1}.

Đến đây, sử dụng kết quả \sin x<x với mọi x\in (0;\pi/2), ta có 2 n^2-2 n+2<3 \pi(n-1). Bất đẳng thức này sai, vì khi n>4 thì

\displaystyle 2 n^2-2n+2-3 \pi(n-1)>2 n^2-2 n+2-10(n-1)>0. \Box

Unknown's avatar

Published by Nguyen Trung-Tuan

A math teacher.

Published

Leave a comment