Absolute convergence

Cho $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ là một dãy các số thực. Chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\mid u_n\mid$ hội tụ. Chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ được gọi là hội tụ có điều kiện nếu nó hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Trong bài trước (xem [1]) ta đã biết chuỗi điều hòa thay phiên là một chuỗi hội tụ có điều kiện. Theo tiêu chuẩn Cauchy, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều là chuỗi hội tụ.

Khi làm việc với các chuỗi hội tụ, ta thường muốn việc nhóm vài số hạng liên tiếp hay sắp xếp lại các số hạng sẽ không ảnh hưởng đến sự hội tụ hoặc tổng của chuỗi. Không khó khăn lắm để thấy rằng việc nhóm các số hạng liên tiếp tạo ra một chuỗi hội tụ có tổng bằng tổng của chuỗi ban đầu. Ta có kết quả quan trọng sau liên quan đến sắp xếp các số hạng của chuỗi.

Định lý 1. Cho $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ là một dãy các số thực sao cho chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ hội tụ tuyệt đối. Khi đó với mọi song ánh $\displaystyle\sigma :\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$ , chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{\sigma (n)}$ hội tụ và tổng của nó bằng tổng của chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ .

Chứng minh. Gọi $\displaystyle S$ là tổng của chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ , và $\displaystyle\epsilon$ là một số thực dương bất kỳ. Khi đó tồn tại số nguyên dương $\displaystyle m$ đủ lớn sao cho $\displaystyle \mid S_m-S\mid<\epsilon/2$ và

$\displaystyle\sum_{k=m+1}^{+\infty}\mid u_k\mid <\epsilon/2,$

trong đó $\displaystyle (S_n)_{n\geq 1}$ là dãy các tổng riêng của chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ .

Xét một song ánh $\displaystyle\sigma :\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$ . Gọi $\displaystyle (T_n)_{n\geq 1}$ là dãy các tổng riêng của chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_{\sigma (n)}$ , và $\displaystyle N$ là một số nguyên dương sao cho các số $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle \ldots$ , $\displaystyle m$ đều thuộc tập hợp $\displaystyle\{\sigma (1),\sigma (2),\ldots,\sigma (N)\}.$ Với số nguyên $\displaystyle n>N$ , ta có

$\displaystyle \mid T_n-S\mid\leq \mid T_n-S_m\mid +\mid S_m-S\mid$

$\displaystyle\leq \sum_{k=m+1}^{+\infty}\mid u_k\mid +\mid S_m-S\mid<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon.$

Suy ra $\displaystyle T_n\to S$ và ta có điều phải chứng minh. $\Box$

Bây giờ giả sử $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ là một dãy các số thực sao cho chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ hội tụ có điều kiện. Ta thấy có vô hạn số hạng của dãy là số dương, và có vô hạn số hạng của dãy là số âm. Gọi $\displaystyle (d_i)_{i\geq 1}$ và $(a_i)_{i\geq 1}$ lần lượt là dãy con tất cả các số hạng không âm và dãy con tất cả các số hạng âm của dãy $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ . Hai chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}d_n$ và $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ đều phân kỳ. Cố định một số thực $\displaystyle \alpha$ . Lấy ra khỏi $\displaystyle (d_i)$ một vài số hạng đầu có tổng lớn hơn $\displaystyle\alpha$ , sau đó lấy ra khỏi $\displaystyle (a_i)$ một vài số hạng đầu để tổng các số được chọn (gồm cả những số được chọn từ $\displaystyle (d_i)$ ) nhỏ hơn $\displaystyle \alpha$ . Tiếp theo, trong dãy $\displaystyle (d_i)$ còn lại, lấy vài số hạng đầu để tổng các số được lấy (gồm cả những số được chọn từ các bước trước) lớn hơn $\displaystyle\alpha$ , sau đó trong dãy $\displaystyle (a_i)$ còn lại, lấy một vài số hạng đầu để tổng các số được lấy (gồm cả những số được chọn từ các bước trước) nhỏ hơn $\displaystyle \alpha$ . Cứ tiếp tục như vậy ta có một chuỗi có tổng bằng $\displaystyle\alpha$ . Ta đã mô tả chứng minh của kết quả sau, chi tiết có trong [2].

Định lý 2 (Định lý chuỗi Riemann). Cho $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ là một dãy các số thực sao cho chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ hội tụ có điều kiện. Khi đó với mỗi số thực $\displaystyle\alpha$ , có song ánh $\displaystyle \sigma :\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$ sao cho chuỗi $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}u_{\sigma (n)}$ hội tụ và tổng của nó bằng $\displaystyle \alpha$ .

Tài liệu tham khảo

[1] https://nttuan.org/2018/12/30/series/

[2] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw Hill, 1976.

Series

Cho $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ là một dãy các số thực. Tổng hình thức

$\displaystyle u_1+u_2+u_3+\cdots,$

ký hiệu $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ , được gọi là một chuỗi. Với mỗi số nguyên dương $\displaystyle n$ , số

$\displaystyle S_n:=u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{i=1}^nu_i$

được gọi là tổng riêng thứ $\displaystyle n$ của chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ , và $\displaystyle u_n$ được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi. Nếu dãy các tổng riêng $\displaystyle (S_n)_{n\geq 1}$ hội tụ đến $\displaystyle S$ , ta nói chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ là chuỗi hội tụ và $\displaystyle S$ được gọi là tổng của chuỗi, ký hiệu $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n=S$ .

Mặc dù $\displaystyle S$ là tổng của chuỗi, nó là giới hạn của dãy các tổng riêng, và nó không được hình thành bởi việc cộng liên tiếp các số hạng của dãy số $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ .

Ví dụ 1. Chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ là một chuỗi hội tụ và tổng của nó bằng $\displaystyle 1$ . $\Box$

Ví dụ 2. Chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ là một chuỗi hội tụ vì dãy các tổng riêng của chuỗi này là một dãy số tăng và bị chặn trên bởi $\displaystyle 2$ . $\Box$

Ví dụ 3. Xét chuỗi điều hòa luân phiên $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ . Với mỗi số nguyên dương $\displaystyle n$ , ta có

$\displaystyle S_{2n}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$

và

$\displaystyle S_{2n+1}=\frac{1}{1}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)-\cdots-\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right).$

Do đó $\displaystyle (S_{2n})_{n\geq 1}$ là một dãy số tăng còn $\displaystyle (S_{2n+1})_{n\geq 1}$ là một dãy số giảm. Mặt khác, với mỗi số nguyên dương $\displaystyle n$ ,

$\displaystyle 0<S_{2n}<S_{2n+1}=S_{2n}+\frac{1}{2n+1}<1,$

do đó $\displaystyle (S_{2n})_{n\geq 1}$ và $\displaystyle (S_{2n+1})_{n\geq 1}$ là hai dãy hội tụ có cùng một giới hạn. Suy ra $\displaystyle (S_n)_{n\geq 1}$ hội tụ, và bởi vậy chuỗi điều hòa luân phiên là chuỗi hội tụ. $\Box$

Nếu dãy tổng riêng $\displaystyle (S_n)_{n\geq 1}$ phân kỳ, ta nói chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ là chuỗi phân kỳ. Vì $\displaystyle u_n=S_n-S_{n-1}$ với mọi $\displaystyle n>1$ , nên ta có kết quả

Định lý 1. Nếu chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ hội tụ thì $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=0$ .

Ví dụ sau chứng tỏ điều kiện $\displaystyle u_n\to 0$ chỉ là điều kiện cần để chuỗi hội tụ.

Ví dụ 4. Chuỗi điều hòa $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$ là chuỗi phân kỳ mặc dù $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=0$ . Thật vậy, giả sử chuỗi hội tụ và $\displaystyle S$ là tổng của nó. Khi đó

$\displaystyle S=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\cdots$

$\displaystyle >\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\cdots$

$\displaystyle =\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots.$

Suy ra $S>S$ , vô lý. $\Box$

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy các tổng riêng ta có một điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ.

Định lý 2 (Tiêu chuẩn Cauchy). Cho $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ là một dãy các số thực. Khi đó chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ hội tụ khi và chỉ khi với mỗi $\displaystyle \epsilon >0$ , tồn tại số nguyên dương $\displaystyle N$ để

$\displaystyle \left|\sum_{i=m}^nu_i\right|<\epsilon$

nếu $n\geq m\geq N$ .

Ở một số chỗ, để cho thuận tiện, ta cũng xét chuỗi $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ . Khi đó các khái niệm tương ứng được nêu theo cách tương tự.

Định lý 3. Với số thực $\displaystyle q$ , xét chuỗi $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}q^n$ (quy ước $\displaystyle 0^0=1$ ). Nếu $\displaystyle \mid q\mid <1$ thì chuỗi hội tụ và

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}.$

Nếu $\displaystyle \mid q\mid \geq 1$ thì chuỗi phân kỳ.

The sum of the reciprocals of the primes

Với mỗi số nguyên dương $n$ , ký hiệu $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$ trong dãy tăng tất cả các số nguyên tố. Như vậy $p_1=2$ , $p_2=3$ , $p_3=5$ ,…

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của kết quả sau:

Định lý. Chuỗi $\displaystyle \frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\ldots$ là một chuỗi phân kỳ.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, khi đó với mỗi số nguyên dương $k$ , chuỗi $\displaystyle\sum_{m=k}^{+\infty}\frac{1}{p_m}$ là một chuỗi hội tụ, gọi $S_k$ là tổng của nó. Vì $\lim S_k=0$ nên tồn tại số nguyên $k$ sao cho $\displaystyle S_{k+1}<\frac{1}{2}$ . Đặt $Q=p_1p_2\ldots p_k$ và xét các số $1+nQ\, (n=1,2,\ldots)$ . Mỗi số trong dãy này đều không có ước nguyên tố thuộc $\{p_1, p_2, \ldots, p_k\}$ , do đó với mỗi số nguyên dương $r$ , tồn tại số nguyên dương $K$ đủ lớn để