A proof of Cauchy–Davenport theorem

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của định lí Cauchy-Davenport.

Định lí Cauchy – Davenport. Cho số nguyên tố $p$ và hai tập con khác rỗng $A,B$ của $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$ Khi đó

$|A+B|\geq\min (p,|A|+|B|-1).$

Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định bằng quy nạp theo $|B|$ . Khi $|B|=1$ ta có

$|A+B|=|A|=\min (p,|A|)=\min (p,|A|+|B|-1).$ Suy ra khẳng định đúng khi $|B|=1$ . Khi $|B|=2$ ta viết $B=\{b_1,b_2\}$ và $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_m\},$ ta có ngay $|A+B|\geq m$ .

Nếu $|A+B|= m$ thì $\{b_1+a_1,\ldots,b_1+a_m\}=\{b_2+a_1,\ldots,b_2+a_m\},$ suy ra $mb_1\equiv mb_2\pmod{p}$ , hay $m=p$ . Khi đó $|A+B|=p\geq\min (p,|A|+|B|-1).$

Nếu $|A+B|>m$ thì $|A+B|\geq m+1\geq\min (p,m+1)=\min (p,|A|+|B|-1).$

Vậy khẳng định đúng khi $|B|=2$ . Giả sử khẳng định đúng với mỗi tập $B$ thỏa mãn $|B|<n,$ trong đó $n\geq 3.$ Ta sẽ chứng minh khẳng định đúng với mọi tập $B$ có $|B|=n.$ Xét một tập $B$ thỏa mãn $|B|=n$ . Đặt $|A+B|=l,|A|=m$ và viết $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}.$ Xét ba trường hợp

Trường hợp 1. $l\geq p.$

Ta có $|A+B|=l\geq p\geq\min (p,|A|+|B|-1).$

Trường hợp 2. $m+n>p.$

Ta có $A+B=\{0,1,2,\ldots,p-1\}$ , thật vậy với mỗi $g\in \{0,1,2,\ldots,p-1\}$ , hai tập $g-A$ và $B$ có giao khác rỗng vì chúng là các tập con của tập $\{0,1,2,\ldots,p-1\}$ và có tổng số phần tử lớn hơn $p$ . Lấy $h\in g-A\cap B$ ta có ngay $g=b=g-a\,\, (a\in A,b\in B),$ suy ra $g=a+b\in A+B$ . Từ đây ta có $|A+B|=p\geq\min (p,|A|+|B|-1).$

Trường hợp 3. $l<p$ và $m+n\leq p.$

Ở trường hợp này thì $\min (p,|A|+|B|-1)=\min (p,m+n-1)=m+n-1.$ Áp dụng giả thiết quy nạp cho hai tập $C=A+B$ và $\{b_1,b_n\}$ ta có $|C+\{b_1,b_n\}|\geq\min (p,|C|+|\{b_1,b_n\}|-1)=\min (p,l+1)=l+1,$ suy ra $C+b_1\not = C+b_n$ , do đó tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x-b_1\in A+B$ và $x-b_n\not\in A+B$ . Từ đây ta thấy tồn tại số nguyên dương $r<n$ sao cho $x-b_i\in A+B,\,\forall i=\overline{1,r}$ và $x-b_i\not\in A+B,\,\forall i=\overline{r+1,n}$ . Áp dụng giả thiết quy nạp cho hai tập $A$ và $B^{\prime}=\{b_{r+1},b_{r+2},\ldots,b_n\}$ ta có

$|A+B^{\prime}|\geq \min (p,|A|+|B^{\prime}|-1)=\min (p,m+n-r-1)=m+n-r-1.$ Ta có $x-b_i\not\in A+B^{\prime},\,\forall i=\overline{1,r}$ , vì nếu chẳng hạn $x-b_1\in A+B^{\prime}$ thì

$x-b_1= a+b_{s}\Rightarrow x-b_s\in A+B,$ điều này trái với cách chọn $r$ . Vậy $|A+B|\geq r+|A+B^{\prime}|\geq r+m+n-r-1=m+n-1,$ và định lí được chứng minh. $\Box$

Bằng quy nạp ta chứng minh được kết quả sau.

Hệ quả. Cho số nguyên dương $h>1,$ số nguyên tố $p$ và $h$ tập con khác rỗng $A_1,$ $A_2,\ldots,$ $A_h$ của $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$ Khi đó $\displaystyle \mid A_1+A_2+\cdots+A_h\mid \geq \min \left(p,\sum_{i=1}^h\mid A_i\mid-h+1\right).$

Combinations

Cho một tập $A$ có $n$ phần tử ( $n\in\mathbb{N}$ ) và $0\leq k\leq n$ là một số nguyên. Một $k-$ tổ hợp (một tổ hợp chập $k$ ) của $A$ là một tập con $k$ phần tử của $A$ .

Ví dụ 1. Các $3-$ tổ hợp của $A=\{a,b,c,d\}$ là

$\{a,b,c\},\{b,c,d\},\{c,d,a\},\{d,a,b\}.$

Định lí 1. Cho một tập $A$ có $n$ phần tử ( $n\in\mathbb{N}$ ) và $0\leq k\leq n$ là một số nguyên. Khi đó số $k-$ tổ hợp của $A$ bằng $C_n^k=\dfrac{A_n^k}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.$

Chứng minh. Sự khác nhau giữa một $k-$ tổ hợp và một $k-$ hoán vị chính là một đằng không quan tâm đến thứ tự, trong khi đằng kia có quan tâm đến thứ tự. Tận dụng điều này ta có chứng minh như sau.

Một $k-$ hoán vị của $A$ có thể hình thành sau hai bước: Đầu tiên, chọn một $k-$ tổ hợp của $A$ ; sau đó xếp $k$ phần tử của tập này thành một hàng. Bởi vì có $C_n^k$ cách để làm bước một, $k!$ cách để làm bước hai nên theo nguyên lý nhân ta có $A_n^k=C_n^k\times k!.$ $\Box$

Ví dụ 2. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài $7$ mà có đúng ba số $0$ ?

Lời giải. Một xâu nhị phân có tính chất như trong đề bài sẽ được hình thành khi ta chọn $3$ vị trí trong $7$ vị trí để viết số $0.$ Do đó số xâu thỏa mãn là $C_7^3.$ $\Box$

Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách có thể thành lập một hội đồng gồm $5$ thành viên từ một nhóm có $11$ người chứa $4$ giáo viên và $7$ học sinh nếu

(1) Không có thêm điều kiện gì?

(2) Hội đồng chứa đúng $2$ giáo viên?

(3) Hội đồng chứa ít nhất $3$ giáo viên?

(4) Giáo viên $A$ và học sinh $B$ không thể cùng nằm trong hội đồng?

Hướng dẫn giải. (1) $C_{11}^5$ . (2) $C_4^2\times C_7^3$ . (3) $3$ hoặc $4$ giáo viên có thể nằm trong hội đồng, đáp số $91$ .

(4) Dùng quy tắc trừ, đáp số $378$ . $\Box$

Ví dụ 4. Cho $n$ là một số nguyên dương và $A$ là một tập có $2n$ phần tử. Có bao nhiêu cách phân hoạch $A$ thành các tập có $2$ phần tử?

Lời giải 1. Đầu tiên, cố định một phần tử $x$ của $A$ và chọn một phần tử trong $2n-1$ phần tử còn lại của $A$ để ghép lại với $x$ tạo thành một khối của phân hoạch; sau đó cố định một phần tử $y$ trong các phần tử còn lại của $A$ và chọn một phần tử trong $2n-3$ phần tử còn lại của $A$ để ghép lại với $y$ tạo thành một khối của phân hoạch; ta cứ làm như vậy cho đến khi còn $2$ phần tử thì đây chính là khối còn lại của phân hoạch. Theo quy tắc nhân, số phân hoạch thoả mãn là $(2n-1)\times (2n-3)\times\cdots\times 1$ . $\Box$

Lời giải 2. Chọn một tập con có $2$ phần tử của $A$ làm khối thứ nhất, sau đó chọn một tập con có $2$ phần tử của tập hợp gồm $2n-2$ phần tử còn lại làm khối thứ hai, ta cứ làm như vậy cho đến khi còn hai phần tử thì đây chính là khối thứ $n$ . Vì thứ tự các khối là không quan trọng nên số các phân hoạch thoả mãn là $\dfrac{C_{2n}^2\times C_{2n-2}^2\times\cdots\times C_2^2}{n!}$ . $\Box$

Lời giải 3. Ta xếp $2n$ phần tử của $A$ thành một hàng vào $2n$ vị trí như hình dưới đây

$\{(1),(2)\},\{(3),(4)\},\cdots,\{(2n-1),(2n)\}$ có $(2n)!$ cách để làm điều này. Vì trong mỗi tập con có $2$ phần tử thứ tự các phần tử là không quan trọng và thứ tự các khối của phân hoạch là không quan trọng nên số phân hoạch thoả mãn là

$\dfrac{(2n)!}{2!\times 2!\times\cdots\times 2!\times n!}=\dfrac{(2n)!}{n!\times 2^n}.$ $\Box$

Continue reading →

Permutations

Cho $n$ là một số nguyên dương, $r$ là một số nguyên thoả mãn $0\leq r\leq n$ và $A$ là một tập hợp có $n$ phần tử. Một $r-$ hoán vị của $A$ (hay một chỉnh hợp chập $r$ của $A$ ) là một cách xếp $r$ phần tử nào đó của $A$ thành một hàng. Một $n-$ hoán vị của $A$ sẽ được gọi là một hoán vị của $A.$

Ví dụ 1. Cho tập $A=\{a,b,c,d\}$ . Khi đó các $3-$ hoán vị của $A$ là (có tất cả $24$ ):

$abc,acb,bac,bca,cab,cba,$

$abd,adb,bad,bda,dab,dba,$

$acd,adc,cad,cda,dac,dca,$

$bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb.$ $\Box$

Định lí 1. Cho $n$ là một số nguyên dương, $r$ là một số nguyên thoả mãn $0\leq r\leq n$ và $A$ là một tập hợp có $n$ phần tử. Khi đó số $r-$ hoán vị của $A$ bằng $A_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!}$ . Nói riêng, số hoán vị của $A$ bằng $P_n=n!$ .

Chứng minh. Một $r-$ hoán vị của $A$ sẽ được hình thành sau $r$ bước: Đầu tiên, chọn một phần tử từ $A$ và đặt nó vào vị trí thứ nhất; sau đó ta chọn trong các phần tử còn lại của $A$ một phần và đặt nó vào vị trí thứ hai;…; và cuối cùng ta chọn một phần tử từ $n-r+1$ phần tử còn lại của $A$ và đặt nó vào vị trí thứ $r$ . Vì có $n$ cách làm bước thứ nhất, $n-1$ cách làm bước thứ hai;…; và $n-r+1$ cách làm bước thứ $r$ nên theo quy tắc nhân, ta có $A_n^r=n(n-1)\cdots (n-r+1)=\dfrac{n!}{(n-r)!}.$ $\Box$

Ví dụ 2. Gọi $E$ là tập tất cả $26$ chữ cái tiếng Anh. Tìm số các từ gồm $5$ chữ trong $E$ sao cho chữ đầu tiên, chữ cuối cùng là các nguyên âm phân biệt và ba chữ còn lại là các phụ âm phân biệt.

Lời giải. Có $5$ nguyên âm trong $E$ đó là $a,e,i,o,u$ và $21$ chữ cái còn lại là các phụ âm. Một từ thỏa mãn yêu cầu của đầu bài sẽ được hình thành sau hai bước: Đầu tiên, chọn một $2-$ hoán vị của $\{a,e,i,o,u\}$ và đặt nguyên âm thứ nhất vào vị trí $1$ , nguyên âm thứ hai vào vị trí $5$ , sau đó chọn một $3-$ hoán vị của $E\setminus \{a,e,i,o,u\}$ và đặt phụ âm thứ nhất, hai, ba của hoán vị vào vị trí $2,3,4$ tương ứng.

Bởi vì có $A_5^2$ cách để làm bước thứ nhất và $A_{21}^3$ cách để làm bước thứ hai nên theo quy tắc nhân ta có số các từ thoả mãn là $A_5^2\times A_{21}^3=159600.$ $\Box$

Continue reading →

Basic counting principles

Nguyên lý thứ nhất (Quy tắc cộng). Giả sử có $n_1$ cách thực hiện việc $E_1$ , $n_2$ cách thực hiện việc $E_2$ ,…, $n_k$ cách thực hiện việc $E_k$ . Nếu $k$ việc này không thể làm đồng thời thì sẽ có $n_1+n_2+\cdots+n_k$ cách thực hiện một trong các việc $E_1,E_2,\ldots,E_k$ .

Ví dụ 1. Người ta có thể đi từ Hải Phòng đến Đà Nẵng bằng một trong ba phương tiện: tàu hoả, tàu thuỷ và máy bay. Nếu có hai cách đi bằng tàu hoả, ba cách đi bằng tàu thuỷ, và $1$ cách đi bằng máy bay thì sẽ có $2+3+1=6$ cách đi từ Hải Phòng đến Đà Nẵng. $\Box$

Ví dụ 2. Tìm số các cặp có thứ tự $(x;y)$ các số nguyên thoả mãn $x^2+y^2\leq 5$ .

Lời giải. Mỗi $i=0,1,2,3,4,5$ ta đặt $S_i=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{Z},x^2+y^2=i\}$ , khi đó tập cần tính số phần tử sẽ là hợp rời rạc của các $S_i$ . Ta tính số phần tử của các $S_i$ bằng phương pháp liệt kê và cuối cùng được đáp số của bài toán là $21.$ $\Box$

Nguyên lý thứ hai (Quy tắc nhân). Giả sử rằng việc $E$ có thể được làm bằng cách thực hiện liên tiếp các việc $E_1,E_2,\ldots,E_k$ ; và có $n_1$ cách thực hiện việc $E_1$ , $n_2$ cách thực hiện việc $E_2$ ,…, $n_k$ cách thực hiện việc $E_k$ . Khi đó số cách làm việc $E$ là $n_1\times n_2\times\cdots\times n_k$ .

Ví dụ 3. Đề đi từ thành phố $A$ đến thành phố $D$ người ta phải đi lần lượt qua hai thành phố $B$ và $C$ . Nếu có hai cách đi từ $A$ đến $B$, ba cách đi từ $B$ đến $C$ và một cách đi từ $C$ đến $D$ thì sẽ có $2\times 3\times 1=6$ cách đi từ $A$ đến $D.$ $\Box$

Ví dụ 4. Cho $k$ và $n$ là các số nguyên dương. Một dãy $k-$ phân độ dài $n$ là một dãy $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ với $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\{0,1,\ldots,k-1\}$ . Hỏi có bao nhiêu dãy này?

Lời giải. Đặt $A=\{0,1,\ldots,k-1\}$ . Để hình thành một dãy $k-$ phân, đầu tiên chúng ta cần chọn $a_1$ từ $B$ , sau đó chọn $a_2$ từ $B$ , và cứ như thế cho đến cuối cùng cần chọn $a_n$ từ $B$ . Bởi vì có $k$ cách để làm mỗi bước nên theo quy tắc nhân, số các dãy như vậy bằng $k^n.$ $\Box$

Ví dụ 5. Tìm số các ước dương của $600$ .

Lời giải. Ta có $600=2^3\times 3^1\times 5^2$ nên một số nguyên dương $m$ là một ước dương của $600$ khi và chỉ khi nó có dạng $m=2^a\times 3^b\times 5^c$ với $a,b,c$ là các số nguyên thoả mãn $0\leq a\leq 3,0\leq b\leq 1,0\leq c\leq 2$ . Như vậy số các ước dương của $600$ bằng số các bộ ba $(a,b,c)$ thoả mãn $a\in\{0,1,2,3\},b\in\{0,1\},c\in\{0,1,2\}$ , theo quy tắc nhân, số ước dương của $600$ bằng $4\times 2\times 3=24.$ $\Box$

Tổng quát hơn ta có: Nếu số nguyên dương $n$ có phân tích tiêu chuẩn $n=\prod p_i^{k_i}$ thì số các ước dương của $n$ bằng $\prod (k_i+1)$ .

Ví dụ 6. Cho $X=\{1,2,\ldots,100\}$ và

$S=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in X,a<b,a<c\}.$ Tính $|S|$ .

Lời giải. Với mỗi $k=1,2,\cdots,99$ ta đặt $S_k=\{(k,b,c)|b,c\in X, b>k,c>k\}$ . Khi đó $S$ là hợp rời rạc của các $S_k$ , mà theo quy tắc nhân ta có $|S_k|=(100-k)^2$ nên suy ra $|S|=\sum S_k=328350\Box$ .

Để ý đến lời giải ví dụ thứ hai và thứ sáu, ta thấy chúng có một điểm chung là chia bài toán đã cho thành các bài toán con đơn giản hơn và giải chúng. Đây là cách cơ bản nhất để giải các bài toán đếm, có thể sẽ có cách khác ngắn gọn hơn, nhưng việc chia một bài toán thành các bài toán con mà chúng ta đã biết cách giải sẽ giúp ta ít gặp phải các sai lầm hơn.

Ví dụ 7. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số được lấy từ tập $\{1,2,3,4,5,6\}$ nếu

(a) Các chữ số không cần phải khác nhau?

(b) Các chữ số phải khác nhau?

(d) Các chữ số không cần phải khác nhau và chứa số $3$ ?

Lời giải.

(a) $6^3.$

(b) $6\times 5\times 4$ .

(d) Nếu tiếp tục làm như trên ta sẽ được kết quả là $3\times 6\times 6$ , đây là một kết quả không chính xác! Vì làm như vậy những số như $323$ sẽ được đếm hai lần. Vấn đề ở chỗ ta đã dùng sai quy tắc nhân, mỗi hai tổ hợp khác nhau cách thực hiện các công việc $E_i$ phải cho hai kết quả khác nhau thì ta mới áp dụng được quy tắc nhân. Bài này ta lại phải chia thành các bài toán con và giải chúng lần lượt.

Ta chia trường hợp theo vị trí của số $3$ nằm bên trái nhất. Nếu số $3$ này nằm ở vị trí hàng trăm thì số có ba chữ số phải có dạng $\overline{3ab}$ , nếu nó nằm ở vị trí hàng chục thì số có ba chữ số phải có dạng $\overline{a3b}$ với $a\not=3$ , và cuối cùng, nếu số $3$ này nằm ở vị trí hàng đơn vị thì số ba chữ số phải có dạng $\overline{ab3}$ với $a,b\not=3$ . Giải các bài toán con ta được đáp số của bài toán là $6\times 6+5\times 6+5\times 5.$ $\Box$