hamonic series – T's Lab

Cho $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ là một dãy các số thực. Tổng hình thức

$\displaystyle u_1+u_2+u_3+\cdots,$

ký hiệu $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ , được gọi là một chuỗi. Với mỗi số nguyên dương $\displaystyle n$ , số

$\displaystyle S_n:=u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{i=1}^nu_i$

được gọi là tổng riêng thứ $\displaystyle n$ của chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ , và $\displaystyle u_n$ được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi. Nếu dãy các tổng riêng $\displaystyle (S_n)_{n\geq 1}$ hội tụ đến $\displaystyle S$ , ta nói chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ là chuỗi hội tụ và $\displaystyle S$ được gọi là tổng của chuỗi, ký hiệu $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n=S$ .

Mặc dù $\displaystyle S$ là tổng của chuỗi, nó là giới hạn của dãy các tổng riêng, và nó không được hình thành bởi việc cộng liên tiếp các số hạng của dãy số $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ .

Ví dụ 1. Chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ là một chuỗi hội tụ và tổng của nó bằng $\displaystyle 1$ . $\Box$

Ví dụ 2. Chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ là một chuỗi hội tụ vì dãy các tổng riêng của chuỗi này là một dãy số tăng và bị chặn trên bởi $\displaystyle 2$ . $\Box$

Ví dụ 3. Xét chuỗi điều hòa luân phiên $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ . Với mỗi số nguyên dương $\displaystyle n$ , ta có

$\displaystyle S_{2n}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$

và

$\displaystyle S_{2n+1}=\frac{1}{1}-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)-\cdots-\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right).$

Do đó $\displaystyle (S_{2n})_{n\geq 1}$ là một dãy số tăng còn $\displaystyle (S_{2n+1})_{n\geq 1}$ là một dãy số giảm. Mặt khác, với mỗi số nguyên dương $\displaystyle n$ ,

$\displaystyle 0<S_{2n}<S_{2n+1}=S_{2n}+\frac{1}{2n+1}<1,$

do đó $\displaystyle (S_{2n})_{n\geq 1}$ và $\displaystyle (S_{2n+1})_{n\geq 1}$ là hai dãy hội tụ có cùng một giới hạn. Suy ra $\displaystyle (S_n)_{n\geq 1}$ hội tụ, và bởi vậy chuỗi điều hòa luân phiên là chuỗi hội tụ. $\Box$

Nếu dãy tổng riêng $\displaystyle (S_n)_{n\geq 1}$ phân kỳ, ta nói chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ là chuỗi phân kỳ. Vì $\displaystyle u_n=S_n-S_{n-1}$ với mọi $\displaystyle n>1$ , nên ta có kết quả

Định lý 1. Nếu chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ hội tụ thì $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=0$ .

Ví dụ sau chứng tỏ điều kiện $\displaystyle u_n\to 0$ chỉ là điều kiện cần để chuỗi hội tụ.

Ví dụ 4. Chuỗi điều hòa $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$ là chuỗi phân kỳ mặc dù $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=0$ . Thật vậy, giả sử chuỗi hội tụ và $\displaystyle S$ là tổng của nó. Khi đó

$\displaystyle S=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\cdots$

$\displaystyle >\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\cdots$

$\displaystyle =\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots.$

Suy ra $S>S$ , vô lý. $\Box$

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy các tổng riêng ta có một điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ.

Định lý 2 (Tiêu chuẩn Cauchy). Cho $\displaystyle (u_n)_{n\geq 1}$ là một dãy các số thực. Khi đó chuỗi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ hội tụ khi và chỉ khi với mỗi $\displaystyle \epsilon >0$ , tồn tại số nguyên dương $\displaystyle N$ để

$\displaystyle \left|\sum_{i=m}^nu_i\right|<\epsilon$

nếu $n\geq m\geq N$ .

Ở một số chỗ, để cho thuận tiện, ta cũng xét chuỗi $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ . Khi đó các khái niệm tương ứng được nêu theo cách tương tự.

Định lý 3. Với số thực $\displaystyle q$ , xét chuỗi $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}q^n$ (quy ước $\displaystyle 0^0=1$ ). Nếu $\displaystyle \mid q\mid <1$ thì chuỗi hội tụ và

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}.$

Nếu $\displaystyle \mid q\mid \geq 1$ thì chuỗi phân kỳ.

Với mỗi số nguyên dương $n$ , ký hiệu $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$ trong dãy tăng tất cả các số nguyên tố. Như vậy $p_1=2$ , $p_2=3$ , $p_3=5$ ,…

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của kết quả sau:

Định lý. Chuỗi $\displaystyle \frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\ldots$ là một chuỗi phân kỳ.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, khi đó với mỗi số nguyên dương $k$ , chuỗi $\displaystyle\sum_{m=k}^{+\infty}\frac{1}{p_m}$ là một chuỗi hội tụ, gọi $S_k$ là tổng của nó. Vì $\lim S_k=0$ nên tồn tại số nguyên $k$ sao cho $\displaystyle S_{k+1}<\frac{1}{2}$ . Đặt $Q=p_1p_2\ldots p_k$ và xét các số $1+nQ\, (n=1,2,\ldots)$ . Mỗi số trong dãy này đều không có ước nguyên tố thuộc $\{p_1, p_2, \ldots, p_k\}$ , do đó với mỗi số nguyên dương $r$ , tồn tại số nguyên dương $K$ đủ lớn để