IMO2022SL/G7: Euler line

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một số lời giải của bài toán G7 trong cuốn IMO 2022: Shortlisted Problems.

IMO2022SL/G7. Hai tam giác $ABC, A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ có cùng trực tâm $H$ và cùng đường tròn ngoại tiếp có tâm $O$ . Gọi $PQR$ là tam giác tạo bởi $AA^{\prime}$ , $BB^{\prime}$ và $CC^{\prime}$ , chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $PQR$ nằm trên $OH$ .

A proof of Euler’s formula

Công thức Euler. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

Các em học sinh hãy chứng minh công thức Euler bằng cách giải ba bài tập sau.

Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ và số thực $x\in\mathbb{R}\setminus \pi\mathbb{Z}$ , ta có

$\displaystyle \frac{\sin (nx)}{(\sin x)^n}=\sum_{0\leq m\leq n/2}(-1)^mC_n^{2m+1}(\cot x)^{n-2m-1}.$

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $m$ , ta có $\displaystyle \sum_{r=1}^m\frac{1}{\sin^2\frac{r\pi}{2m+1}}=\frac{2m(m+1)}{3}.$

Bài 3. Chứng minh công thức Euler.

—

Phương pháp trên là của Cauchy.