algebraic NT – T's Lab

Các em học sinh hãy chứng minh các khẳng định trong bài ngắn dưới đây. Tài liệu tham khảo là

Một số phức $\alpha$ được gọi là một số đại số nếu có đa thức $f(x)$ khác đa thức không có hệ số trong $\mathbb{Q}$ nhận $\alpha$ làm nghiệm. Một số đại số được gọi là số nguyên đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức có hệ số nguyên với hệ số cao nhất bằng $1$ .

$\sqrt[3]{2}$ và $i$ là các số đại số. Số $\frac{1}{2}$ là một số đại số nhưng không phải số nguyên đại số. Những số phức không phải là số đại số sẽ được gọi là các số siêu việt. Người ta chứng minh được $e$ và $\pi$ là các số siêu việt.

Cho một số đại số $\alpha$ . Đa thức tối tiểu của $\alpha$ là đa thức khác không $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ có bậc nhỏ nhất thỏa mãn

hệ số cao nhất của $f$ bằng $1$ , và
$\alpha$ là một nghiệm của $f$ .

Định lí 1. Đa thức tối tiểu là tồn tại và duy nhất với mỗi số đại số.

Định lí 2. Cho số đại số $\alpha$ . Khi đó

Đa thức tối tiểu của $\alpha$ là bất khả quy trên $\mathbb{Q}$ .
Nếu $g\in\mathbb{Q}[x]$ thì $\alpha$ là nghiệm của $g$ khi và chỉ khi $g$ chia hết cho đa thức tối tiểu của $\alpha$ .
Nếu đa thức tối tiểu của $\alpha$ có bậc $n$ thì với mỗi đa thức $f$ với hệ số hữu tỷ, tồn tại đa thức $g$ có bậc bé hơn $n$ với hệ số hữu tỷ sao cho $f(\alpha)=g(\alpha)$ .

Bài 1. Chứng minh rằng $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ là một số đại số và tìm đa thức tối tiểu của nó.

Bài 2. Cho $p(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn $p(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0$ . Chứng minh rằng $p(\sqrt{2}-\sqrt{3})=0$ .

Định lí 3. Nếu $\alpha$ và $\beta$ là các số đại số (nguyên đại số) thì $\alpha\pm\beta$ và $\alpha\beta$ cũng là các số đại số (nguyên đại số). Nếu $\alpha\not=0$ là một số đại số thì $1/\alpha$ cũng là một số đại số.